Encontre a derivada das funções usando a definição:
f(x)=-2 x^3+x+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x) = -2x^3 + x + 1 usando a definição de derivada. O que precisamos é aplicar
f'(x) = limh to 0 f(x+h) - f(x)h

Passo 2

Vamos primeiro escrever f(x+h). Substituindo x mapsto x+h em f, temos
f(x+h) = -2,(x+h)^3 + (x+h) + 1
Agora expandimos o cubo:
(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3,
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f(x+h) = -2l(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3r) + x + h + 1

Passo 3

Distribuindo o -2 e rearranjando termos,
f(x+h) = -2x^3 -6x^2h -6xh^2 -2h^3 + x + h + 1
Em seguida, computamos a diferença f(x+h) - f(x). Lembrando que f(x) = -2x^3 + x + 1, obtemos
f(x+h) - f(x) = l(-2x^3 -6x^2h -6xh^2 -2h^3 + x + h + 1r) - l(-2x^3 + x + 1r)

Passo 4

Cancelando os termos iguais em f(x+h)-f(x), sobra
f(x+h) - f(x) = -6x^2h -6xh^2 -2h^3 + h
Dividindo por h, que é o próximo passo na definição, dá
f(x+h) - f(x)h = -6x^2h -6xh^2 -2h^3 + hh = -6x^2 -6xh -2h^2 + 1

Passo 5

Para concluir, aplicamos o limite quando h to 0:
f'(x) = limh to 0 l(-6x^2 -6xh -2h^2 + 1r) = -6x^2 + 1

Resposta

A derivada de f(x) é
f'(x) = -6x^2 + 1

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