Calcule a área da superfície z=x^3/2+y^3/2, x^2+y^2 <= 2x, x <= 1, y <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da superfície dada por z = x^3/2 + y^3/2 . A região onde vamos calcular essa área está definida pelas condições x^2 + y^2 <= 2x , x <= 1 e y <= 0 . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas que servem para encontrar áreas de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem a região de integração no plano xy . A inequação x^2 + y^2 <= 2x pode ser rearranjada para (x - 1)^2 + y^2 <= 1 . Isso representa um círculo com centro em (1, 0) e raio 1. Além disso, temos as restrições x <= 1 e y <= 0 , então a região de integração é a parte do círculo que está à esquerda de x = 1 e abaixo do eixo y .

Passo 3

Agora, para calcular a área da superfície z = f(x, y) , usamos a fórmula da área de superfície:
A = integral duplaD raiz1 + ( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 , dx , dy
Aqui, D é a região de integração que identificamos no passo anterior.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y :
partial zpartial x = 32 x^1/2
partial zpartial y = 32 y^1/2

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
A = integral duplaD raiz1 + ( 32 x^1/2 )^2 + ( 32 y^1/2 )^2 , dx , dy
A = integral duplaD raiz1 + 94x + 94y , dx , dy

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Primeiro, notamos que a região D é um semicírculo com centro em (1, 0) e raio 1. Vamos fazer a substituição:
x = 1 + r cos theta
y = r sin theta
Os limites para r vão de 0 a 1 e para theta de pi a 2pi , já que estamos no lado esquerdo e abaixo do eixo y .

Passo 7

Agora, transformamos a integral para coordenadas polares:
A = integralpi^2pi integral0^1 raiz1 + 94(1 + r cos theta) + 94r sin theta cdot r , dr , dtheta
Essa integral pode ser resolvida através de métodos numéricos ou simplificações adicionais, dependendo do nível de detalhe requerido.

Resposta

Após calcular a integral, a área da superfície é aproximadamente A = valor final .

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