Calcule a área da superfície
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área da superfície dada por
. A região onde vamos calcular essa área está definida pelas condições
,
e
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas que servem para encontrar áreas de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem a região de integração no plano
. A inequação
pode ser rearranjada para
. Isso representa um círculo com centro em
e raio 1. Além disso, temos as restrições
e
, então a região de integração é a parte do círculo que está à esquerda de
e abaixo do eixo
.
Passo 3
Agora, para calcular a área da superfície
, usamos a fórmula da área de superfície:
Aqui,
é a região de integração que identificamos no passo anterior.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
Passo 6
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Primeiro, notamos que a região
é um semicírculo com centro em
e raio 1. Vamos fazer a substituição:
Os limites para
vão de 0 a 1 e para
de
a
, já que estamos no lado esquerdo e abaixo do eixo
.
Passo 7
Agora, transformamos a integral para coordenadas polares:
Essa integral pode ser resolvida através de métodos numéricos ou simplificações adicionais, dependendo do nível de detalhe requerido.
Resposta
Após calcular a integral, a área da superfície é aproximadamente
.