Use o Teste da Integral para determinar se a série a seguir é convergente ou divergente.
Observe que, para esta série do item
, apesar da função
ser claramente positiva para
, não é óbvio se
é decrescente, como o Teste da Integral exige.
Observe que, para esta série do item
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita:
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge usando o Teste da Integral. Pra isso, precisamos saber se a função que define os termos da série,
, é positiva e decrescente para
, porque essas são as condições necessárias pro Teste da Integral funcionar.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que a função
é positiva para
. Sabemos que o logaritmo natural,
, é positivo quando
, e
no denominador também é positivo. Então,
é realmente positiva nesse intervalo. Isso é bom porque precisamos disso pro teste.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a função
é decrescente para
. Uma função é decrescente se sua derivada for negativa nesse intervalo. Vamos encontrar a derivada de
:
Aplicando a regra do quociente:
Para
(onde
), temos
, então
. E como o denominador
é sempre positivo, isso significa que
para
. Portanto,
é decrescente para
, satisfazendo a condição necessária pro Teste da Integral.
Passo 4
Com as duas condições checadas –
é positiva e decrescente para
– podemos aplicar o Teste da Integral. Esse teste nos diz que a série
converge ou diverge de acordo com a integral imprópria
.
Vamos calcular essa integral:
Passo 5
A gente resolve a integral usando substituição. Vamos deixar
, então
. Assim, a integral fica:
Agora, avaliamos a integral de 1 até
:
Como
tende ao infinito quando
vai para o infinito,
também vai para o infinito. Então, a integral diverge.
Resposta
Pela aplicação do Teste da Integral, a série
diverge.