Use o Teste da Integral para determinar se a série a seguir é convergente ou divergente.
sumn=1^infty ln nn
Observe que, para esta série do item (c), apesar da função f(x)=ln xx ser claramente positiva para x>1, não é óbvio se f é decrescente, como o Teste da Integral exige.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita: sumn=1^infty ln nn. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge usando o Teste da Integral. Pra isso, precisamos saber se a função que define os termos da série, f(x) = ln xx, é positiva e decrescente para x > 1, porque essas são as condições necessárias pro Teste da Integral funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que a função f(x) = ln xx é positiva para x > 1. Sabemos que o logaritmo natural, ln x, é positivo quando x > 1, e x no denominador também é positivo. Então, f(x) é realmente positiva nesse intervalo. Isso é bom porque precisamos disso pro teste.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a função f(x) é decrescente para x > 1. Uma função é decrescente se sua derivada for negativa nesse intervalo. Vamos encontrar a derivada de f(x):
f'(x) = ddx(ln xx)
Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = 1x cdot x - ln x cdot 1x^2 = 1 - ln xx^2
Para x > e (onde e approx 2.718), temos ln x > 1, então 1 - ln x < 0. E como o denominador x^2 é sempre positivo, isso significa que f'(x) < 0 para x > e. Portanto, f(x) é decrescente para x > e, satisfazendo a condição necessária pro Teste da Integral.

Passo 4

Com as duas condições checadas – f(x) é positiva e decrescente para x > e – podemos aplicar o Teste da Integral. Esse teste nos diz que a série sumn=1^infty f(n) converge ou diverge de acordo com a integral imprópria integral1^infty f(x) , dx.
Vamos calcular essa integral:
integral1^infty ln xx , dx

Passo 5

A gente resolve a integral usando substituição. Vamos deixar u = ln x, então du = 1x dx. Assim, a integral fica:
integral u , du = u^22 + C = (ln x)^22 + C
Agora, avaliamos a integral de 1 até infty:
limb to infty [ (ln b)^22 - (ln 1)^22 ] = limb to infty (ln b)^22 - 0
Como ln b tende ao infinito quando b vai para o infinito, (ln b)^2 também vai para o infinito. Então, a integral diverge.

Resposta

Pela aplicação do Teste da Integral, a série sumn=1^infty ln nn diverge.

Exercícios relacionados