Use o Teste da Série Alternada para determinar se a série a seguir é convergente ou divergente.
(série harmônica alternada)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série harmônica alternada
. Nosso objetivo é usar o Teste da Série Alternada para descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, precisamos entender os critérios desse teste e aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Série Alternada. Ele diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. - Os termos
estão diminuindo: para todo . - O limite dos termos
quando tende ao infinito é zero: .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série.
Passo 3
Condição 1: Os termos
são positivos? Sim, porque
é um número natural e
sempre será positivo.
Passo 4
Condição 2: Os termos
estão diminuindo? Vamos comparar
e
:
Como
, então
. Portanto, os termos estão diminuindo conforme
aumenta.
Passo 5
Condição 3: O limite dos termos
quando
tende ao infinito é zero?
Sim, o limite é zero.
Resposta
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série
converge.