Use o Teste da Série Alternada para determinar se a série a seguir é convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^n-1n (série harmônica alternada)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série harmônica alternada sumn=1^infty (-1)^n-1n. Nosso objetivo é usar o Teste da Série Alternada para descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, precisamos entender os critérios desse teste e aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Série Alternada. Ele diz que uma série da forma sumn=1^infty (-1)^n-1 bn converge se:
  1. Os termos bn são positivos.
  2. Os termos bn estão diminuindo: bn+1 <= bn para todo n.
  3. O limite dos termos bn quando n tende ao infinito é zero: limn to infty bn = 0.
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série.

Passo 3

Condição 1: Os termos bn = 1n são positivos? Sim, porque n é um número natural e 1n sempre será positivo.

Passo 4

Condição 2: Os termos bn = 1n estão diminuindo? Vamos comparar bn+1 e bn:
bn+1 = 1n+1 e bn = 1n
Como n+1 > n, então 1n+1 < 1n. Portanto, os termos estão diminuindo conforme n aumenta.

Passo 5

Condição 3: O limite dos termos bn = 1n quando n tende ao infinito é zero?
limn to infty 1n = 0
Sim, o limite é zero.

Resposta

Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série sumn=1^infty (-1)^n-1n converge.

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