Determine a área da superfície. Faça um esboço da superfície dada.
sigma(u, v)=(u-v, u+v, 2u+v+1) onde 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= u;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a área de uma superfície definida pela função vetorial sigma(u, v) = (u - v, u + v, 2u + v + 1), onde u varia de 0 a 1 e v varia de 0 a u. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies paramétricas, que envolve derivadas parciais e o cálculo do determinante do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função sigma(u, v) em relação a u e v. Isso nos ajuda a entender como a superfície muda conforme u e v variam.
Vamos calcular sigmau e sigmav:
sigmau = partial sigmapartial u = ( partialpartial u(u - v), partialpartial u(u + v), partialpartial u(2u + v + 1) ) = (1, 1, 2)
sigmav = partial sigmapartial v = ( partialpartial v(u - v), partialpartial v(u + v), partialpartial v(2u + v + 1) ) = (-1, 1, 1)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o produto vetorial dessas derivadas parciais, sigmau times sigmav. O produto vetorial nos dá um vetor normal à superfície, e o módulo desse vetor é usado para calcular a área.
Vamos calcular o produto vetorial:
sigmau times sigmav = i & j & k 1 & 1 & 2 -1 & 1 & 1 = i(1 cdot 1 - 2 cdot 1) - j(1 cdot 1 - 2 cdot (-1)) + k(1 cdot 1 - 1 cdot (-1))
= i(-1) - j(3) + k(2) = (-1, -3, 2)

Passo 4

O próximo passo é calcular o módulo desse vetor resultante, que nos dará o elemento de área que vamos integrar.
|sigmau times sigmav| = raiz(-1)^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14

Passo 5

Agora, vamos integrar esse módulo sobre os limites dados para u e v para encontrar a área total da superfície.
Área = integralu=0^1 integralv=0^u raiz14 , dv , du Á
Como raiz14 é constante, a integral fica mais simples:
Área = raiz14 integral0^1 integral0^u dv , du = raiz14 integral0^1 u , du Á
Integrando em relação a u:
Área = raiz14 [ u^22 ]0^1 = raiz14 ( 12 - 0 ) = raiz142 Á

Resposta

A área da superfície é raiz142 unidades de área.

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