Determine a área da superfície. Faça um esboço da superfície dada. onde e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a área de uma superfície definida pela função vetorial , onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies paramétricas, que envolve derivadas parciais e o cálculo do determinante do produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Isso nos ajuda a entender como a superfície muda conforme e variam.
Vamos calcular e :
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o produto vetorial dessas derivadas parciais, . O produto vetorial nos dá um vetor normal à superfície, e o módulo desse vetor é usado para calcular a área.
Vamos calcular o produto vetorial:
= i(-1) - j(3) + k(2) = (-1, -3, 2)
Passo 4
O próximo passo é calcular o módulo desse vetor resultante, que nos dará o elemento de área que vamos integrar.