É verdadeiro ou falso?
Se
é de classe
e
-periódica, então a série de Fourier de
converge a
.
Se
Passo 1
Então, a gente tem uma afirmação para analisar: "Se
é de classe
e
-periódica, então a série de Fourier de
converge a
". Vamos entender do que se trata essa questão, quais conceitos precisamos conhecer e como vamos resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser de classe
. Isso quer dizer que a função
é diferenciável e sua derivada
é contínua. Ou seja, não só conseguimos traçar a função sem “quebras”, mas também sua inclinação muda de forma suave.
Passo 3
Agora, sobre a função ser
-periódica. Isso significa que a função se repete a cada intervalo de comprimento
. Por exemplo, se
, então a função se repete a cada
unidades. Essa periodicidade é fundamental para a construção da série de Fourier, que representa funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.
Passo 4
A série de Fourier de uma função
periódica é uma expressão que escreve
como uma soma infinita de termos senoidais (seno e cosseno). A ideia é que, mesmo funções complicadas podem ser aproximadas por essa soma de ondas mais simples.
Passo 5
A questão principal aqui é saber se essa série de Fourier realmente converge para a função original
. Convergência significa que, ao somarmos mais termos da série, a aproximação fica cada vez mais próxima de
.
Passo 6
Bem, há um teorema na análise de Fourier que nos ajuda aqui: Se uma função é contínua e tem derivada contínua (ou seja, é de classe
) em todo o seu domínio periódico, então sua série de Fourier converge uniformemente para a função original. Isso significa que a aproximação pela série de Fourier ficará cada vez melhor em todos os pontos da função.
Passo 7
Então, aplicando esse teorema à nossa situação: como
é de classe
e
-periódica, ela atende aos critérios necessários para que sua série de Fourier converja para
. Ou seja, a série não apenas se aproxima, mas realmente chega a representar
de forma precisa.
Resposta
Verdadeiro. Se
é de classe
e
-periódica, então sua série de Fourier converge para
.