É verdadeiro ou falso?
Se f: R -> R é de classe C^1 e 2 L-periódica, então a série de Fourier de f converge a f.

Passo 1

Então, a gente tem uma afirmação para analisar: "Se é de classe e -periódica, então a série de Fourier de converge a ". Vamos entender do que se trata essa questão, quais conceitos precisamos conhecer e como vamos resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser de classe . Isso quer dizer que a função é diferenciável e sua derivada é contínua. Ou seja, não só conseguimos traçar a função sem “quebras”, mas também sua inclinação muda de forma suave.

Passo 3

Agora, sobre a função ser -periódica. Isso significa que a função se repete a cada intervalo de comprimento . Por exemplo, se , então a função se repete a cada unidades. Essa periodicidade é fundamental para a construção da série de Fourier, que representa funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.

Passo 4

A série de Fourier de uma função periódica é uma expressão que escreve como uma soma infinita de termos senoidais (seno e cosseno). A ideia é que, mesmo funções complicadas podem ser aproximadas por essa soma de ondas mais simples.

Passo 5

A questão principal aqui é saber se essa série de Fourier realmente converge para a função original . Convergência significa que, ao somarmos mais termos da série, a aproximação fica cada vez mais próxima de .

Passo 6

Bem, há um teorema na análise de Fourier que nos ajuda aqui: Se uma função é contínua e tem derivada contínua (ou seja, é de classe ) em todo o seu domínio periódico, então sua série de Fourier converge uniformemente para a função original. Isso significa que a aproximação pela série de Fourier ficará cada vez melhor em todos os pontos da função.

Passo 7

Então, aplicando esse teorema à nossa situação: como é de classe e -periódica, ela atende aos critérios necessários para que sua série de Fourier converja para . Ou seja, a série não apenas se aproxima, mas realmente chega a representar de forma precisa.

Resposta

Verdadeiro. Se é de classe e -periódica, então sua série de Fourier converge para .

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