Questão 1. Resolva as equações diferenciais abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
y y^prime prime+(y^prime)^2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y,y'' + l(y'r)^2 = 0
reduzindo-a a uma equação de primeira ordem. Como não há x explicitamente, podemos usar a técnica de redução de ordem definindo
p = y'

Passo 2

Com p = y' temos
y'' = dpdx = dpdy,dydx = p,dpdy
Substituindo em
y,y'' + l(y'r)^2 = 0
vem
y,p,dpdy + p^2 = 0,
que é uma equação de primeira ordem em p(y).

Passo 3

Assumindo pneq0 e dividindo por p obtemos
y,dpdy + p = 0 Longrightarrow dpdy = -py
Separando variáveis e integrando:
dpp = -dyy Longrightarrow ln|p| = -ln|y| + ln|C1| Longrightarrow p = C1y

Passo 4

Voltando a p = tfracdydx, fica
dydx = C1y
Separando variáveis em y,dy = C1,dx e integrando:
12,y^2 = C1,x + C2
Definindo A = 2C1 e B = 2C2, a solução geral é
y^2 = A,x + B

Resposta

y^2 = A,x + B, com A,B constantes arbitrárias.

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