Calcule a área da superfície cônica
Paramétrica S(u, v)=(u, v, raizu^2+v^2),
D=(u, v) in R^2 ; u^2+v^2 <= R^2

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície paramétrica
S(u,v) = l(u,;v,;raizu^2+v^2r),
definida no disco
D=(u,v)inR^2mid u^2+v^2<= R^2
O conteúdo aqui é área de superfície paramétrica, que usamos via integral da norma do produto vetorial dos vetores tangentes Su e Sv.

Passo 2

Lembrando que, para uma parametrização S(u,v), a área é
Area(S) =integral duplaD!l|Sutimes Svr|;du,dv,
onde
Su=partial Spartial u, Sv=partial Spartial v

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
Su = l(1,;0,;uraizu^2+v^2r), Sv = l(0,;1,;vraizu^2+v^2r)
O produto vetorial tem norma
l|Sutimes Svr| =raiz1 + l(u^2+v^2u^2+v^2r) =raiz2

Passo 4

Como |Sutimes Sv|=raiz2 é constante,
Area(S) =integral duplaDraiz2;du,dv =raiz2;l(área de Dr) =raiz2;l(pi R^2r) =piraiz2,R^2 á

Resposta

boxedArea(S)=piraiz2,R^2

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