Calcule o comprimento da curva dada
gamma(t)=(t, ln t), t in[2, e]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica gamma(t)=(t,ln t) para tin[2,e].
Conteúdo: comprimento de curva em coordenadas paramétricas.
Vamos usar a fórmula
L=integralt0^t1raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt
com x(t)=t e y(t)=ln t.

Passo 2

Calculamos as derivadas:
x'(t)=1, y'(t)=ddtl(ln tr)=1t
Logo o integrando fica
raiz(x')^2+(y')^2 =raiz1+1t^2 =raizt^2+1t^2 =raizt^2+1t

Passo 3

O comprimento é então
L=integral2^eraizt^2+1t,dt

Passo 4

Para integrar integralraizt^2+1t,dt usamos a fórmula padrão
integralraizt^2+a^2t,dt =raizt^2+a^2 - aln!l(a+raizt^2+a^2tr) + C,
aqui com a=1. Logo uma primitiva é
F(t) =raizt^2+1 - ln!l(1+raizt^2+1tr)

Passo 5

Avaliamo-la de 2 a e:
L =F(e)-F(2) =l[raize^2+1-ln!l(tfrac1+raize^2+1er)r] -l[raiz5-ln!l(tfrac1+raiz52r)r]

Resposta

L =l(raizt^2+1-ln1+raizt^2+1tr)|2^e =raize^2+1-raiz5 -ln!l(tfrac1+raize^2+1er) +ln!l(tfrac1+raiz52r)

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