Encontre uma equação da reta tangente à curva y=x^3+3 x^2+4 x que seja paralela à reta y-x-5=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
y = x^3 + 3x^2 + 4x
que seja paralela à reta
y - x - 5 = 0
Conteúdo: para uma reta ser paralela a outra, elas devem ter o mesmo coeficiente angular. Vamos calcular a derivada de y para encontrar o coeficiente angular da tangente e igualá-lo ao da reta dada.

Passo 2

A derivada de y em relação a x é
y' = ddxl(x^3 + 3x^2 + 4xr) = 3x^2 + 6x + 4

Passo 3

A reta dada y - x - 5 = 0 pode ser escrita como y = x + 5, cujo coeficiente angular é 1. Logo, precisamos de
y' = 1 Longrightarrow 3x^2 + 6x + 4 = 1
Reescrevendo,
3x^2 + 6x + 3 = 0 Longrightarrow x^2 + 2x + 1 = 0 Longrightarrow (x + 1)^2 = 0 Longrightarrow x = -1

Passo 4

Para x0 = -1, o valor de y na curva é
y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 4(-1) = -1 + 3 - 4 = -2
O ponto de tangência é (-1,-2). A equação da reta com coeficiente angular 1 passando por (-1,-2) é
y - (-2) = 1l(x - (-1)r) Longrightarrow y + 2 = x + 1 Longrightarrow y = x - 1

Resposta

y = x - 1

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