Dada uma curva r(t), o vetor tangente unitário no instante t=t0 é dado por T(t)=r^prime(t)|r^prime(t)|, isto é, normalizamos o vetor tangente naquele ponto. Encontre o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t.
r(t)=(t e^-t, 2 arctan t, 2 e^t), t=0

Passo 1

O enunciado nos pede o vetor tangente unitário T(0) da curva r(t)=l(te^-t,,2arctan t,,2e^tr). Para isso, precisamos calcular r'(t), avaliá-lo em t=0, encontrar sua norma e então normalizar.

Passo 2

Calcular r'(t). Derivando cada componente:
(te^-t)' = e^-t - te^-t = (1-t)e^-t, (2arctan t)' = 21+t^2, (2e^t)' = 2e^t
Logo,
r'(t) = l((1-t)e^-t,,tfrac21+t^2,,2e^tr)

Passo 3

Avaliar em t=0:
r'(0) = l((1-0)e^0,,tfrac21+0^2,,2e^0r) = (1,2,2)

Passo 4

Calcular a norma | r'(0)|. Temos
|,(1,2,2),| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz9 = 3

Passo 5

Obter o vetor tangente unitário dividindo r'(0) pela norma:
T(0) = r'(0)| r'(0)| = (1,2,2)3 = l(tfrac13,,tfrac23,,tfrac23r)

Resposta

T(0)=l(tfrac13,tfrac23,tfrac23r)

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