Dada uma curva r(t), o vetor tangente unitário no instante t=t0 é dado por T(t)=r^prime(t)|r^prime(t)|, isto é, normalizamos o vetor tangente naquele ponto. Encontre o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t.
r(t)=(t^3+3 t, t^2+1,3 t+4), t=1

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
r(t) = l(t^3 + 3t,;t^2 + 1,;3t + 4r)
e pede o vetor tangente unitário T(t) no ponto t=1.
O conteúdo aqui é cálculo de vetores tangentes em curvas em R^3 e normalização de vetor.

Passo 2

Primeiro calculamos o vetor velocidade r'(t), isto é, a derivada componente a componente:
r'(t) = l((t^3+3t)',;(t^2+1)',;(3t+4)'r) = l(3t^2+3,;2t,;3r)

Passo 3

Agora avaliamos r'(t) em t=1:
r'(1) = l(3cdot1^2+3,;2cdot1,;3r) = (6,;2,;3)

Passo 4

Em seguida, calculamos a norma de r'(1):
l|r'(1)r| = raiz6^2 + 2^2 + 3^2 = raiz36 + 4 + 9 = raiz49 = 7

Passo 5

Por fim, normalizamos r'(1) dividindo-o pela sua norma para obter o vetor tangente unitário em t=1:
T(1) = r'(1)l|r'(1)r| = 17(6,;2,;3) = l(tfrac67,;tfrac27,;tfrac37r)

Resposta

T(1)=l(tfrac67,;tfrac27,;tfrac37r)

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