Calcule a área da superfície dada pela equação
com
, que esta entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a área de uma superfície definida pela equação $ x = 1 - y^{2} $, onde $ y $ varia de 0 a 1. Além disso, essa superfície está limitada entre os planos $ z = 0 $ e $ z = y $.
Conteúdo da matéria envolvido:
- Cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional.
- Uso de integrais duplas para encontrar áreas.
O que vamos precisar:
- Entender como parametrizar a superfície.
- Saber calcular derivadas parciais.
- Configurar e resolver uma integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície. A equação $ x = 1 - y^{2} $ representa uma parábola que se abre para o lado negativo do eixo $ x $. Como $ y $ varia de 0 a 1, vamos considerar apenas essa parte da parábola.
Como $ z $ varia de 0 a $ y $, isso significa que para cada ponto na superfície $ x = 1 - y^{2} $, o valor de $ z $ vai de 0 até o valor correspondente de $ y $.
Passo 3
Para calcular a área dessa superfície, usamos uma fórmula do cálculo multivariável para áreas de superfícies parametrizadas. A fórmula geral para a área $ A $ de uma superfície definida por $ z = f(x, y) $ é:
No nosso caso, a superfície está definida por $ x = 1 - y^{2} $, mas também temos uma variação em $ z $. Para facilitar, vamos parametrizar a superfície em termos de $ y $ e $ z $.
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície usando $ y $ e $ z $ como parâmetros. Assim, podemos expressar $ x $ em função de $ y $:
Então, nosso vetor posição $ \vec{r}(y, z) $ fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular os vetores tangentes à superfície em relação a $ y $ e $ z $. Esses vetores são as derivadas parciais de $ \vec{r} $ em relação a $ y $ e $ z $:
Passo 6
Com esses vetores tangentes, podemos calcular o vetor normal usando o produto cruzado:
Passo 7
A magnitude desse vetor normal nos dá o elemento de área diferencial:
Passo 8
Agora, definimos os limites de integração. Como $ y $ varia de 0 a 1 e $ z $ varia de 0 a $ y $, os limites são:
Passo 9
Finalmente, configuramos a integral dupla para a área $ A $:
Integrando em relação a $ z $:
Passo 10
Para resolver a integral $ \int y \sqrt{1 + 4y^{2}} , dy $, fazemos uma substituição:
Seja $ u = 1 + 4y^{2} $, então $ du = 8y , dy $, ou $ y , dy = \frac{du}{8} $.
Substituindo:
Voltando para $ y $:
Resposta
A área da superfície é $ \frac{1}{12} \left(5^{\frac{3}{2}} - 1\right) $ unidades de área.