Calcule a área da superfície dada pela equação x=1-y^2 com 0 <= y <= 1, que esta entre os planos z=0 e z=y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a área de uma superfície definida pela equação $ x = 1 - y^{2} $, onde $ y $ varia de 0 a 1. Além disso, essa superfície está limitada entre os planos $ z = 0 $ e $ z = y $.
Conteúdo da matéria envolvido:
  • Cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional.
  • Uso de integrais duplas para encontrar áreas.
O que vamos precisar:
  • Entender como parametrizar a superfície.
  • Saber calcular derivadas parciais.
  • Configurar e resolver uma integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície. A equação $ x = 1 - y^{2} $ representa uma parábola que se abre para o lado negativo do eixo $ x $. Como $ y $ varia de 0 a 1, vamos considerar apenas essa parte da parábola.
Como $ z $ varia de 0 a $ y $, isso significa que para cada ponto na superfície $ x = 1 - y^{2} $, o valor de $ z $ vai de 0 até o valor correspondente de $ y $.

Passo 3

Para calcular a área dessa superfície, usamos uma fórmula do cálculo multivariável para áreas de superfícies parametrizadas. A fórmula geral para a área $ A $ de uma superfície definida por $ z = f(x, y) $ é:
A
No nosso caso, a superfície está definida por $ x = 1 - y^{2} $, mas também temos uma variação em $ z $. Para facilitar, vamos parametrizar a superfície em termos de $ y $ e $ z $.

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície usando $ y $ e $ z $ como parâmetros. Assim, podemos expressar $ x $ em função de $ y $:
y
Então, nosso vetor posição $ \vec{r}(y, z) $ fica:
z

Passo 5

Agora, precisamos calcular os vetores tangentes à superfície em relação a $ y $ e $ z $. Esses vetores são as derivadas parciais de $ \vec{r} $ em relação a $ y $ e $ z $:
y
z

Passo 6

Com esses vetores tangentes, podemos calcular o vetor normal usando o produto cruzado:
ry times rz = i & j & k -2y & 1 & 0 0 & 0 & 1 = i(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - j(-2y cdot 1 - 0 cdot 0) + k(-2y cdot 0 - 1 cdot 0) = i(1) + j(2y) + k(0) = ( 1, , 2y, , 0 )

Passo 7

A magnitude desse vetor normal nos dá o elemento de área diferencial:
| ry times rz | = raiz1^2 + (2y)^2 + 0^2 = raiz1 + 4y^2

Passo 8

Agora, definimos os limites de integração. Como $ y $ varia de 0 a 1 e $ z $ varia de 0 a $ y $, os limites são:
y
z

Passo 9

Finalmente, configuramos a integral dupla para a área $ A $:
A
Integrando em relação a $ z $:
A = integraly=0^1 integralz=0^y raiz1 + 4y^2 , dz , dy

Passo 10

Para resolver a integral $ \int y \sqrt{1 + 4y^{2}} , dy $, fazemos uma substituição:
Seja $ u = 1 + 4y^{2} $, então $ du = 8y , dy $, ou $ y , dy = \frac{du}{8} $.
Substituindo:
integral y raiz1 + 4y^2 , dy
Voltando para $ y $:
u = 1 + 4y^2

Resposta

A área da superfície é $ \frac{1}{12} \left(5^{\frac{3}{2}} - 1\right) $ unidades de área.

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