Considere S parte do parabolóide z=1-x^2-y^2 em que z >= 0, com orientação positiva. Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=(3 x, 3 y, 5 z) através de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa calcular o fluxo de um campo vetorial específico através de uma parte do paraboloide dado pela equação z = 1 - x^2 - y^2 , onde z >= 0 . O campo vetorial em questão é F(x, y, z) = (3x, 3y, 5z) . Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de fluxo em campos vetoriais, que basicamente mede a quantidade do campo que atravessa uma superfície. Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo. Fluxo mede como um campo vetorial atravessa uma superfície. Matematicamente, é representado por:
integral duplaS F cdot n , dS
onde n é o vetor normal à superfície S .

Passo 3

Para simplificar, vamos usar o Teorema da Divergência, que transforma o fluxo através de uma superfície fechada em uma integral de volume. A fórmula do Teorema da Divergência é:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Isso facilita porque calcular uma integral de volume pode ser mais fácil do que uma integral de superfície.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo F . A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Para o nosso campo F = (3x, 3y, 5z) :
nabla cdot F = 3 + 3 + 5 = 11

Passo 5

Agora, precisamos definir o volume V que está sendo considerado. Como a superfície S é o paraboloide z = 1 - x^2 - y^2 com z >= 0 , o volume V está abaixo desse paraboloide e acima do plano z = 0 .

Passo 6

Para calcular a integral de volume, é conveniente usar coordenadas cilíndricas, onde:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o volume elemento em coordenadas cilíndricas é:
dV = r , dr , dtheta , dz

Passo 7

Os limites de integração são:
  • r varia de 0 até onde z = 0 , ou seja, o raio máximo no paraboloide z = 1 - r^2 = 0 r = 1 .
  • theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.
  • z varia de 0 até 1 - r^2 .

Passo 8

Agora, configuramos a integral de volume:
integral triplaV 11 , dV = 11 integral0^2pi integral0^1 integral0^1 - r^2 r , dz , dr , dtheta

Passo 9

Integrando em relação a z :
integral0^1 - r^2 dz = 1 - r^2
Então, a integral fica:
11 integral0^2pi integral0^1 r (1 - r^2) , dr , dtheta

Passo 10

Agora, integramos em relação a r :
integral0^1 r (1 - r^2) , dr = integral0^1 r , dr - integral0^1 r^3 , dr = [r^22]0^1 - [r^44]0^1 = 12 - 14 = 14

Passo 11

Finalmente, integramos em relação a theta :
11 times 14 integral0^2pi dtheta = 11 times 14 times 2pi = 112 pi

Resposta

O fluxo do campo F através da superfície S é 112 pi .

Exercícios relacionados