Considere
parte do parabolóide
em que
, com orientação positiva. Calcule o fluxo do campo
através de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa calcular o fluxo de um campo vetorial específico através de uma parte do paraboloide dado pela equação
, onde
. O campo vetorial em questão é
. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de fluxo em campos vetoriais, que basicamente mede a quantidade do campo que atravessa uma superfície. Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo. Fluxo mede como um campo vetorial atravessa uma superfície. Matematicamente, é representado por:
onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Para simplificar, vamos usar o Teorema da Divergência, que transforma o fluxo através de uma superfície fechada em uma integral de volume. A fórmula do Teorema da Divergência é:
Isso facilita porque calcular uma integral de volume pode ser mais fácil do que uma integral de superfície.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Para o nosso campo
:
Passo 5
Agora, precisamos definir o volume
que está sendo considerado. Como a superfície
é o paraboloide
com
, o volume
está abaixo desse paraboloide e acima do plano
.
Passo 6
Para calcular a integral de volume, é conveniente usar coordenadas cilíndricas, onde:
E o volume elemento em coordenadas cilíndricas é:
Passo 7
Os limites de integração são:
-
varia de 0 até onde , ou seja, o raio máximo no paraboloide dá . -
varia de 0 a para cobrir todo o círculo. -
varia de 0 até .
Passo 8
Agora, configuramos a integral de volume:
Passo 9
Integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Passo 11
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície
é
.