Mostre que a EDO é exata e encontre a solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para mostrar que ela é exata e encontrar sua solução geral. Vamos usar o teste de exatidão em
e, em seguida, obter a função potencial
.
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão
temos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Por exatidão, existe
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 5
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Logo
, o que dá
. Assim
Resposta
A solução implícita geral é
com
constante e
.