Mostre que a EDO é exata e encontre a solução.
(yx+6 x) d x=(2-ln (x)) d y, x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(yx + 6xr),dx = l(2 - ln(x)r),dy, x>0
e pede para mostrar que ela é exata e encontrar sua solução geral. Vamos usar o teste de exatidão em M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 e, em seguida, obter a função potencial Psi(x,y).

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
temos
M(x,y) = yx + 6x, N(x,y) = -l(2 - ln(x)r) = ln(x) - 2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial yl(yx + 6xr) = 1x,
partial Npartial x = partialpartial xl(ln(x)-2r) = 1x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Por exatidão, existe Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y) e partial Psipartial y = N(x,y)
Integramos M em relação a x:
Psi(x,y) = integrall(yx + 6xr),dx = yintegral1x,dx + 6integral x,dx = yln(x) + 3x^2 + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 5

Derivamos Psi em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial Psipartial y = ln(x) + h'(y) stackrel!= ln(x) - 2
Logo h'(y) = -2, o que dá h(y) = -2y + C. Assim
Psi(x,y) = yln(x) + 3x^2 - 2y

Resposta

A solução implícita geral é
yln(x) + 3x^2 - 2y = C,
com C constante e x>0.

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