Calcule a solução geral das seguintes equações homogêneas de coeficientes constantes:
y^prime prime-y^prime=-3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
y'' - y' = -3
Para isso, vamos usar o método padrão:
  1. Resolver a equação homogênea associada.
  2. Encontrar uma solução particular da equação completa.
  3. Somar as duas partes para obter a solução geral.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' - y' = 0
Escrevemos a equação característica
r^2 - r = 0
que fatoriza em r(r-1)=0, dando as raízes
r=0, r=1
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^0x + C2 e^1x = C1 + C2 e^x

Passo 3

Propondo uma solução particular
Como o termo não homogêneo é constante -3, tentamos
yp(x) = A x,
onde A é constante a determinar. Calculando as derivadas,
yp'(x)=A, yp''(x)=0,
e impondo na equação original,
yp'' - yp' = 0 - A = -A = -3 ;Longrightarrow; A = 3
Logo
yp(x) = 3x

Passo 4

Construindo a solução geral
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2 e^x + 3x

Resposta

boxedy(x) = C1 + C2 e^x + 3x

Exercícios relacionados