Calcule a solução geral das seguintes equações homogêneas de coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
Para isso, vamos usar o método padrão:
- Resolver a equação homogênea associada.
- Encontrar uma solução particular da equação completa.
- Somar as duas partes para obter a solução geral.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea
Escrevemos a equação característica
que fatoriza em
, dando as raízes
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Propondo uma solução particular
Como o termo não homogêneo é constante , tentamos
Como o termo não homogêneo é constante
onde
é constante a determinar. Calculando as derivadas,
e impondo na equação original,
Logo
Passo 4
Construindo a solução geral
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular: