Seja o campo F(x, y, z)=(e^z+5 y^33, e^z-5 x^33, 2 x z+2 y z).
Mostre que rot F(x, y, z)=(2 z-e^z, e^z-2 z,-5 x^2-5 y^2).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
vec F(x,y,z)=l(e^z+tfrac5y^33,;e^z-tfrac5x^33,;2xz+2yzr)
e pede para mostrar que
rotvec F(x,y,z)=l(2z-e^z,;e^z-2z,;-5x^2-5y^2r)
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e uso da definição de rotacional nablatimesvec F.

Passo 2

Chamando
P(x,y,z)=e^z+tfrac5y^33, Q(x,y,z)=e^z-tfrac5x^33, R(x,y,z)=2xz+2yz,
a fórmula do rotacional é
rotvec F =nablatimesvec F =l(Ry-Qz,;Pz-Rx,;Qx-Pyr)

Passo 3

Calculemos a primeira componente:
Ry=partialpartial y(2xz+2yz)=2z,
Qz=partialpartial zl(e^z-tfrac5x^33r)=e^z.
Logo
Ry-Qz=2z-e^z

Passo 4

Calculemos a segunda componente:
Pz=partialpartial zl(e^z+tfrac5y^33r)=e^z,
Rx=partialpartial x(2xz+2yz)=2z.
Logo
Pz-Rx=e^z-2z

Passo 5

Calculemos a terceira componente:
Qx=partialpartial xl(e^z-tfrac5x^33r)=-5x^2,
Py=partialpartial yl(e^z+tfrac5y^33r)=5y^2.
Logo
Qx-Py=-5x^2-5y^2

Passo 6

Reunindo os resultados, obtemos
rotvec F(x,y,z) =l(2z-e^z,;e^z-2z,;-5x^2-5y^2r),
exatamente o que se pedia demonstrar.

Resposta

rotvec F(x,y,z)=l(2z-e^z,;e^z-2z,;-5x^2-5y^2r).

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