Calcule a área da superfície esférica x^2+y^2+z^2=9 que está no interior do cilindro x^2+y^2=3x e acima do plano xy.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos a área da porção da esfera
x^2+y^2+z^2=9
que está dentro do cilindro
x^2+y^2=3x
e acima do plano xy (ou seja, z>=0).
Conteúdo: parametrização de superfície esférica e cálculo de área usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Parametrizamos a esfera de raio
com . Como queremos apenas a parte acima do plano , impomos .

Passo 3

Traduzimos a condição do cilindro em (phi,theta). No plano xy temos
x^2+y^2=(3sinphi)^2=9sin^2phi
e
x=3sinphicostheta,
logo a desigualdade
9sin^2phi <= 3cdot(3sinphicostheta)
é equivalente, para sinphi>0, a
sinphi <= costheta
Como costheta>=0 só vale para thetain[-tfracpi2,tfracpi2], concluímos
thetainl[-tfracpi2,tfracpi2r], 0<=phi<=arcsin(costheta)=tfracpi2-theta

Passo 4

A área de superfície em coordenadas esféricas é
dS = R^2,sinphi,dphi,dtheta
com R=3. Assim a área desejada é
A &= integraltheta=-pi/2^pi/2integralphi=0^pi/2-theta 3^2,sinphi,dphi,dtheta &=9integral-pi/2^pi/2l[-cosphir]0^pi/2-theta,dtheta &=9integral-pi/2^pi/2l(1-cos(tfracpi2-theta)r),dtheta &=9integral-pi/2^pi/2l(1-sinthetar),dtheta
Como integral-pi/2^pi/2sintheta,dtheta=0 e integral-pi/2^pi/21,dtheta=pi, fica
A =9l(pi -0r)=9pi

Resposta

A área procurada é 9pi.

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