Calcule a área da superfície esférica
que está no interior do cilindro
e acima do plano
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos a área da porção da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
(ou seja,
).
Conteúdo: parametrização de superfície esférica e cálculo de área usando coordenadas esféricas.
Conteúdo: parametrização de superfície esférica e cálculo de área usando coordenadas esféricas.
Passo 2
Parametrizamos a esfera de raio
com . Como queremos apenas a parte acima do plano
, impomos
.
Passo 3
Traduzimos a condição do cilindro em
. No plano
temos
e
logo a desigualdade
é equivalente, para
, a
Como
só vale para
, concluímos
Passo 4
A área de superfície em coordenadas esféricas é
com
. Assim a área desejada é
Como
e
, fica
Resposta
A área procurada é
.