Seja a superfície S parte do paraboloide z=x^2+y^2 que se encontra abaixo do plano z=1.
Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte do paraboloide
z = x^2+y^2
que fica abaixo do plano z=1. O conteúdo aqui é parametrizar uma superfície dada como grafo de uma função de duas variáveis, usando coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para escrever essa superfície como grafo basta tomar
f(x,y)=x^2+y^2
e considerar o domínio projetado no plano xy tal que z=f(x,y)<=1. Logo o domínio é
D = (x,y)inR^2mid x^2+y^2<=1

Passo 3

Usando x e y como parâmetros, definimos a parametrização
r(x,y) = l(x,;y,;x^2+y^2r),
com
(x,y)in D = (x,y)mid x^2+y^2<=1
Em coordenadas cartesianas podemos descrever ainda os limites de integração (por exemplo) como
-1<= x<=1, -raiz1-x^2<= y<=raiz1-x^2

Resposta

A parametrização pedida é
boxed r(x,y) = l(x,y,x^2+y^2r), (x,y)in(x,y)mid x^2+y^2<=1

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