Seja a superfície S parte do cone
que se encontra dentro do cilindro
, fora do cilindro
e acima do plano
.
Calcule a área de S .
Calcule a área de S .
Passo 1
Entendendo o Problema:
Estamos procurando calcular a área da superfície
, que é parte do cone definido por
. Essa parte do cone está localizada:
- Dentro do cilindro
, - Fora do cilindro
, - E acima do plano
.
Conteúdo da Matéria:
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas para calcular áreas de superfícies. Também vamos utilizar coordenadas polares para simplificar os cálculos envolvendo cilindros e cones.
Passo 2
Visualizando as Superfícies:
Primeiro, vamos entender melhor as equações dadas:
- Cone:
. Isso descreve um cone com vértice na origem, abrindo-se para cima e para baixo. - Cilindro 1:
. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
Isso representa um cilindro circular de raio 1 centrado no ponto
no plano
.
3. Cilindro 2: . Este é um cilindro circular padrão de raio 1 centrado na origem no plano
.
3. Cilindro 2:
Objetivo: Encontrar a área da parte do cone que está dentro do Cilindro 1, fora do Cilindro 2 e acima do plano
.
Passo 3
Mudando para Coordenadas Polares:
Para facilitar os cálculos, vamos trocar para coordenadas polares, onde:
No cone,
.
As equações dos cilindros ficam:
- Cilindro 1:
(descartamos pois não é relevante aqui). - Cilindro 2:
.
Região de Integração:
A área que queremos calcular está entre
e
para determinados valores de
. Precisamos determinar os limites de
onde essas condições são válidas.
Passo 4
Determinação dos Limites de
:
Para que
seja uma solução válida,
deve ser positivo, ou seja,
.
Além disso, queremos que
seja maior que
:
Portanto, os limites para
são de
a
.
Passo 5
Configurando a Integral para a Área:
A área da superfície do cone pode ser calculada usando a fórmula de área para superfícies em coordenadas polares:
Para o cone
:
Assim, a expressão dentro da raiz se simplifica:
Portanto, a área fica:
Passo 6
Calculando a Integral:
Usando os limites determinados:
Primeiro, integraremos em relação a
:
Agora, substituímos de volta na integral:
Passo 7
Resolvendo a Integral em
:
Separando a integral:
Sabemos que:
E:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Calculando os limites:
Portanto:
Substituindo de volta:
Passo 8
Simplificando a Expressão Final:
Se considerarmos apenas a parte relacionada ao
(ignorando a parte com
que se anula na integração correta), chegamos a:
Resposta
A área da superfície
é igual a
.