Calcule a área da superfície gerada pela rotação do arco da curva dada, em torno do eixo indicado. ; eixo dos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície gerada quando a curva é girada em torno do eixo dos , no intervalo de de -1 a 1. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a fórmula da área de superfície de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo dos . A fórmula é:
Aqui, e são os limites do intervalo, que no nosso caso são -1 e 1.
Passo 3
Vamos identificar nossa função e calcular sua derivada . Nossa função é:
A derivada de em relação a é:
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a raiz quadrada de :
Então, a fórmula da área fica:
Substituindo :
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de -1 a 1:
Sabemos que sinh(-2) = -sinh(2) , então:
S = pi ( 12 sinh(2) + 1 + 12 sinh(2) + 1 ) = pi ( sinh(2) + 2 )
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo dos x é:
S = pi ( sinh(2) + 2 ) approx pi times (3.62686 + 2) approx 17.64 unidades quadradas