Calcule a área da superfície gerada pela rotação do arco da curva dada, em torno do eixo indicado.
y=e^x+e^-x2,-1 <= x <= 1; eixo dos x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície gerada quando a curva y = e^x + e^-x2 é girada em torno do eixo dos x , no intervalo de x de -1 a 1. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a fórmula da área de superfície de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva y = f(x) em torno do eixo dos x . A fórmula é:
S = 2pi integrala^b y raiz1 + (dydx)^2 , dx
Aqui, a e b são os limites do intervalo, que no nosso caso são -1 e 1.

Passo 3

Vamos identificar nossa função y e calcular sua derivada dydx . Nossa função é:
y = e^x + e^-x2
A derivada de y em relação a x é:
dydx = e^x - e^-x2

Passo 4

Agora, vamos calcular 1 + (dydx)^2 :
1 + (dydx)^2 = 1 + ( e^x - e^-x2 )^2 = 1 + e^2x - 2 + e^-2x4 = 4 + e^2x - 2 + e^-2x4 = e^2x + e^-2x + 24
Sabemos que e^2x + e^-2x = 2cosh(2x) , então:
1 + (dydx)^2 = 2cosh(2x) + 24 = cosh(2x) + 12

Passo 5

Agora, vamos calcular a raiz quadrada de 1 + (dydx)^2 :
raiz1 + (dydx)^2 = raizcosh(2x) + 12 = raiz2cosh^2(x)2 = cosh(x)
Então, a fórmula da área fica:
S = 2pi integral-1^1 y cdot cosh(x) , dx
Substituindo y :
S = 2pi integral-1^1 e^x + e^-x2 cdot cosh(x) , dx = pi integral-1^1 (e^x + e^-x) cosh(x) , dx

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que cosh(x) = e^x + e^-x2 , então:
(e^x + e^-x) cosh(x) = (e^x + e^-x) cdot e^x + e^-x2 = e^2x + 2 + e^-2x2 = 2cosh(2x) + 22 = cosh(2x) + 1
Portanto, a integral fica:
S = pi integral-1^1 (cosh(2x) + 1) , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral (cosh(2x) + 1) , dx = 12 sinh(2x) + x + C
Agora, aplicamos os limites de integração de -1 a 1:
S = pi [ ( 12 sinh(2x) + x ) g|-1^1 ] = pi ( ( 12 sinh(2) + 1 ) - ( 12 sinh(-2) -1 ) )
Sabemos que sinh(-2) = -sinh(2) , então:
S = pi ( 12 sinh(2) + 1 + 12 sinh(2) + 1 ) = pi ( sinh(2) + 2 )

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo dos x é:
S = pi ( sinh(2) + 2 ) approx pi times (3.62686 + 2) approx 17.64 unidades quadradas

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