Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, do conjunto de todos os (x, y) tais que:
0 <= x <= 2, y >= raizx-1 e 0 <= y <= x^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região
R = l(x,y)mid 0 <= x <= 2,;y >= raizx-1,;0<= y<= x^2r
O conteúdo é “sólidos de revolução” e usaremos o método das cascas cilíndricas, que exige determinar os limites em x e montar uma integral da forma
V = 2pi integral x;l(a<ura em yr),dx

Passo 2

Para existir raizx-1 precisamos de x-1>=0, isto é x>=1. Além disso temos x<=2. Logo
1<= x<=2,
e para cada x a altura vertical da região é
a<ura = x^2 - raizx-1

Passo 3

Com cascas cilíndricas o raio da casca é x e a altura é x^2-raizx-1. Assim
V = 2pi integral1^2 xl(x^2 - raizx-1r),dx = 2pil(integral1^2x^3,dx ;-;integral1^2xraizx-1,dxr)

Passo 4

Calculando a primeira integral:
integral1^2x^3,dx =l[tfracx^44r]1^2 =2^44-1^44 =16-14 =154

Passo 5

Para a segunda integral fazemos u=x-1, du=dx, x=u+1. Quando x=1, u=0; quando x=2, u=1.
integral1^2xraizx-1,dx =integral0^1(u+1),u^1/2,du =integral0^1l(u^3/2+u^1/2r),du =l[tfrac25u^5/2+tfrac23u^3/2r]0^1 =25+23 =6+1015 =1615

Passo 6

Substituindo em V:
integral1^2xl(x^2-raizx-1r),dx =154-1615 =225-6460 =16160
Portanto
V = 2picdot16160 =161pi30

Resposta

V = 161pi30

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