Questão 11. Use integração por partes para resolver as integrais:
integral arctan (3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral arctan(3x) , dx usando integração por partes. Isso faz parte do cálculo integral, especificamente quando lidamos com funções que são produtos ou compostas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da integração por partes e saber como escolher as partes certas da função para aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula nos ajuda a transformar uma integral complicada em termos mais simples. A chave está em escolher corretamente o que será u e o que será dv.

Passo 3

Vamos escolher u e dv de forma que a derivada de u e a integral de dv sejam mais fáceis de trabalhar. Para a nossa integral integral arctan(3x) , dx, podemos escolher:
u = arctan(3x) e dv = dx

Passo 4

Agora, precisamos encontrar du e v. Para isso, vamos derivar u e integrar dv:
  • Derivando u:
du = ddx[arctan(3x)] , dx = 31 + (3x)^2 , dx = 31 + 9x^2 , dx
  • Integração de dv:
v = integral dx = x

Passo 5

Com u, du, v, e dv definidos, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
integral arctan(3x) , dx = uv - integral v , du = x cdot arctan(3x) - integral x cdot 31 + 9x^2 , dx

Passo 6

Agora, precisamos simplificar a integral restante integral 3x1 + 9x^2 , dx. Observamos que o numerador é uma derivada do denominador, então podemos usar substituição:
  • Vamos chamar w = 1 + 9x^2, então dw = 18x , dx, ou seja, x , dx = dw18.
  • Substituindo na integral:
integral 3x1 + 9x^2 , dx = integral 3w cdot dw18 = 318 integral 1w , dw = 16 ln|w| + C = 16 ln(1 + 9x^2) + C

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
integral arctan(3x) , dx = x cdot arctan(3x) - 16 ln(1 + 9x^2) + C
Podemos simplificar o coeficiente da integral logarítmica reconhecendo que 16 = 13 cdot 12, mas para simplificar mantemos como está.

Resposta

A integral integral arctan(3x) , dx é igual a:
x cdot arctan(3x) - 16 ln(1 + 9x^2) + C
Onde C é a constante de integração.

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