Questão 11. Use integração por partes para resolver as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando integração por partes. Isso faz parte do cálculo integral, especificamente quando lidamos com funções que são produtos ou compostas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da integração por partes e saber como escolher as partes certas da função para aplicar a fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes, que é:
Essa fórmula nos ajuda a transformar uma integral complicada em termos mais simples. A chave está em escolher corretamente o que será
e o que será
.
Passo 3
Vamos escolher
e
de forma que a derivada de
e a integral de
sejam mais fáceis de trabalhar. Para a nossa integral
, podemos escolher:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
e
. Para isso, vamos derivar
e integrar
:
- Derivando
:
- Integração de
:
Passo 5
Com
,
,
, e
definidos, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Passo 6
Agora, precisamos simplificar a integral restante
. Observamos que o numerador é uma derivada do denominador, então podemos usar substituição:
- Vamos chamar
, então , ou seja, . - Substituindo na integral:
Passo 7
Voltando à expressão anterior:
Podemos simplificar o coeficiente da integral logarítmica reconhecendo que
, mas para simplificar mantemos como está.
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.