Questão 11. Use integração por partes para resolver as integrais:
integral(x^2+1) sin (x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral (x^2+1) sin (x) , dx usando a técnica de integração por partes. A integração por partes é útil quando temos um produto de funções, e queremos simplificar a integral separando essas funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da integral serão u e dv de acordo com a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u e dv:
  • Seja u = x^2 + 1. A vantagem de escolher u dessa forma é que sua derivada, du, será mais simples.
  • Então, dv = sin(x) , dx.
Agora, vamos calcular du e v:
du = ddx(x^2 + 1) , dx = 2x , dx
v = integral sin(x) , dx = -cos(x)

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral (x^2 + 1) sin(x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo u, v e du:
= (x^2 + 1)(-cos(x)) - integral (-cos(x)) cdot 2x , dx
Simplificando:
= -(x^2 + 1)cos(x) + 2 integral x cos(x) , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral integral x cos(x) , dx. Vamos usar integração por partes novamente, escolhendo:
  • u = x
  • dv = cos(x) , dx
Calculando du e v:
du = dx
v = integral cos(x) , dx = sin(x)

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x cos(x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo u, v e du:
= x sin(x) - integral sin(x) , dx
Integrando sin(x):
= x sin(x) + cos(x)

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral (x^2+1) sin(x) , dx = -(x^2 + 1)cos(x) + 2 ( x sin(x) + cos(x) ) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral (x^2+1) sin (x) , dx é igual a:
-(x^2 + 1)cos(x) + 2x sin(x) + 2cos(x) + C

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