Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y:
Do conjunto de todos os pares (x, y) tais que 0 <= x <= 1, x <= y <= x^2+1.

Passo 1

O enunciado nos dá a região planar
(x,y)mid 0<= x<=1,;x<= y<= x^2+1
e pede o volume gerado pela rotação em torno do eixo y. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, indicado quando giramos uma região definida por y=f(x) em torno de um eixo vertical.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, cada elemento vertical em x gera uma casca de raio x, altura f(x)-g(x) e espessura dx. A fórmula geral é:
V = integrala^b 2pi xl(f(x)-g(x)r),dx

Passo 3

Aqui temos f(x)=x^2+1 (curva superior), g(x)=x (reta inferior), a=0 e b=1. Substituindo:
V = integral0^12pi xl((x^2+1)-xr),dx

Passo 4

Primeiro simplificamos a integranda:
(x^2+1)-x = x^2 - x +1,
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V = 2pi integral0^1x,(x^2 - x +1),dx =2pi integral0^1(x^3 - x^2 + x),dx
A primitiva de x^3 - x^2 + x é
x^44 - x^33 + x^22

Passo 5

Avaliando de 0 a 1:
14 - 13 + 12 = 3-4+612 = 512
Portanto
V = 2pi cdot 512 = 5pi6

Resposta

5pi6.

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