Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva
y=e^{x}, \quad \text { para } 0 \leq x \leq 1,
em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar a curva \,y=e^x para 0\le x\le1 em torno do eixo x. O conteúdo é área de superfície de revolução e vamos usar a fórmula
S=2\pi\int_{a}^{b}y\,\sqrt{1+\bigl(y'\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de y e montamos o integral. Como
y=e^x,\quad y'=\frac{dy}{dx}=e^x,
temos
\sqrt{1+(y')^2}=\sqrt{1+e^{2x}},
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S=2\pi\int_{0}^{1}e^x\,\sqrt{1+e^{2x}}\;dx.

Passo 3

Para simplificar, fazemos a troca de variável
t=e^x\quad\Longrightarrow\quad dt=e^x\,dx,
e os limites viram x=0\mapsto t=1 e x=1\mapsto t=e. Assim
S=2\pi\int_{1}^{e}\sqrt{1+t^2}\;dt.

Passo 4

Usamos o resultado padrão
\int\sqrt{1+t^2}\;dt =\frac{t}{2}\,\sqrt{1+t^2}+\frac{1}{2}\ln\bigl(t+\sqrt{1+t^2}\bigr)+C.
Portanto
S=2\pi\Biggl[\frac{t}{2}\sqrt{1+t^2}+\frac{1}{2}\ln\bigl(t+\sqrt{1+t^2}\bigr)\Biggr]_{1}^{e}.

Passo 5

Fazendo a avaliação em t=e e t=1, obtemos
S=\pi\Bigl[\, e\sqrt{1+e^2}-1\cdot\sqrt{2} +\ln\!\bigl(e+\sqrt{1+e^2}\bigr) -\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\Bigr].

Resposta

S=\pi\Bigl(e\sqrt{1+e^2}-\sqrt{2}+\ln\!\frac{e+\sqrt{1+e^2}}{1+\sqrt2}\Bigr).

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