Dada a superfície parametrizada por:
\mathbf{r}(u, v)=\left\langle u \cos v, u \operatorname{sen} v, u^{2}\right\rangle, \quad 0 \leq u \leq 2,0 \leq v \leq 2 \pi,
determine a equação do plano tangente à superfície no ponto correspondente a u=1, v=\pi / 4.

Passo 1

O enunciado dá a superfície parametrizada por
\mathbf{r}(u,v)=\langle u\cos v,\;u\sin v,\;u^{2}\rangle
e pede a equação do plano tangente no ponto com u=1 e v=\pi/4.
O conteúdo aqui é cálculo de plano tangente a uma superfície paramétrica, que usa as derivadas parciais \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v para obter dois vetores tangentes, cujo produto vetorial fornece o vetor normal ao plano.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de \mathbf{r}(u,v):
\mathbf{r}_u(u,v) =\frac{\partial}{\partial u}\langle u\cos v,\;u\sin v,\;u^2\rangle =\langle \cos v,\;\sin v,\;2u\rangle,
\mathbf{r}_v(u,v) =\frac{\partial}{\partial v}\langle u\cos v,\;u\sin v,\;u^2\rangle =\langle -u\sin v,\;u\cos v,\;0\rangle.

Passo 3

Avaliar \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v em \bigl(u,v\bigr)=(1,\pi/4). Como
\cos(\pi/4)=\sin(\pi/4)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, temos
\mathbf{r}_u(1,\pi/4) =\Bigl\langle \tfrac{\sqrt{2}}{2},\;\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;2\Bigr\rangle, \quad \mathbf{r}_v(1,\pi/4) =\Bigl\langle -\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;0\Bigr\rangle.
O ponto de contato é
\mathbf{r}(1,\pi/4) =\Bigl\langle 1\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;1\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;1^2\Bigr\rangle =\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;1\Bigr).

Passo 4

Obter o vetor normal ao plano pelo produto vetorial
\mathbf{n} =\mathbf{r}_u(1,\pi/4)\times\mathbf{r}_v(1,\pi/4).
Calculando o determinante,
\mathbf{n} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2} & 2\\\\ -\tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{vmatrix} =\langle -\sqrt{2},\,-\sqrt{2},\,1\rangle.
Multiplicando por -1 (forma equivalente), podemos usar
\mathbf{n}=\langle \sqrt{2},\;\sqrt{2},\;-1\rangle.

Passo 5

A equação do plano com vetor normal \mathbf{n}=\langle A,B,C\rangle passando por (x_0,y_0,z_0) é
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Aqui A=\sqrt{2}, B=\sqrt{2}, C=-1 e (x_0,y_0,z_0)=\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2},1\bigr). Substituindo,
\sqrt{2}\!\bigl(x-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) +\sqrt{2}\!\bigl(y-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) -1\cdot(z-1)=0.
Desenvolvendo e simplificando, chega-se a
\sqrt{2}\,x+\sqrt{2}\,y - z = 1.

Resposta

\boxed{\sqrt{2}\,x+\sqrt{2}\,y - z = 1.}

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