Sendo S a superfície dada pela equação z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, com 0 \leq z \leq 2, pede-se:
(a) Identifique e parametrize a superfície S.
(b) Calcule \iint_{S} z d S.
(c) Calcule a área da superfície S.

Passo 1

O enunciado define a superfície S pela equação
z = \sqrt{x^2 + y^2},
restrita a 0 \le z \le 2.
Isso é um cone circular reto de eixo z, aberto para cima, truncado na altura z=2.
Vamos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar e depois aplicar a fórmula de integral de superfície.

Passo 2

Para parametrizar S, note que na superfície temos r = \sqrt{x^2 + y^2} = z.
Escolhemos parâmetros (r,\theta) com
0 \le r \le 2,\quad 0 \le \theta < 2\pi,
e definimos a aplicação
\mathbf{r}(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr).
Esse \mathbf{r}(r,\theta) descreve precisamente o cone desde o vértice até z=2.

Passo 3

Para calcular
\displaystyle \iint_{S} z\,dS, usamos
dS = \bigl\|\mathbf{r}_r \times \mathbf{r}_\theta\bigr\|\,dr\,d\theta.
Calculando as derivadas:
\mathbf{r}_r = (\cos\theta,\;\sin\theta,\;1),\quad \mathbf{r}_\theta = (-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
O produto vetorial tem norma
\bigl\|\mathbf{r}_r \times \mathbf{r}_\theta\bigr\| = \sqrt{2}\,r.
Como em cada ponto z = r, a integral fica
\iint_{S} z\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} \bigl(r\bigr)\,\bigl(\sqrt{2}\,r\bigr)\,dr\,d\theta =\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}r^2\,dr\,d\theta =2\pi\sqrt{2}\,\frac{2^3}{3} =\frac{16\pi\sqrt{2}}{3}.

Passo 4

Para a área de S, basta integrar dS:
\text{Área}(S) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\sqrt{2}\,r\,dr\,d\theta =2\pi\sqrt{2}\,\frac{2^2}{2} =4\pi\sqrt{2}.Á

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(r,\theta)=(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r), com 0\le r\le2, 0\le\theta<2\pi.
(b) \displaystyle \iint_{S}z\,dS=\frac{16\pi\sqrt{2}}{3}.
(c) \displaystyle \mathrm{Área}(S)=4\pi\sqrt{2}.Á

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