Calcule \iint_{S} \sqrt{1+4 x^{2}+4 y^{2}} d S, onde S é a superfície z=x^{2}+y^{2}, com 0 \leq z \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\iint_{S}\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\;dS,
onde S é a superfície z=x^{2}+y^{2} com 0\le z\le1. Para uma superfície dada por z=f(x,y) temos
dS=\sqrt{1+\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr)^{2}}\;dx\,dy,
de modo que podemos transformar o integral sobre S num duplo integral sobre a projeção de S no plano xy.

Passo 2

Aqui f(x,y)=x^{2}+y^{2}, logo
\frac{\partial f}{\partial x}=2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=2y,
e
dS=\sqrt{1+(2x)^{2}+(2y)^{2}}\;dx\,dy =\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\;dx\,dy.
A projeção de S no plano xy é o disco x^{2}+y^{2}\le1.

Passo 3

Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dx\,dy=r\,dr\,d\theta, com
0\le r\le1, \quad 0\le\theta\le2\pi.
O integrando fica r\sqrt{1+4r^{2}}, portanto
\iint_{S}\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\;dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r\sqrt{1+4r^{2}}\;dr\,d\theta.

Passo 4

Separamos as integrais:
\int_{0}^{2\pi}d\theta \;\times\; \int_{0}^{1}r\sqrt{1+4r^{2}}\;dr =2\pi\int_{0}^{1}r\sqrt{1+4r^{2}}\;dr.
Fazendo u=1+4r^{2}, temos du=8r\,dr e r\,dr=\tfrac{1}{8}du. Quando r=0, u=1; quando r=1, u=5. Assim,
\int_{0}^{1}r\sqrt{1+4r^{2}}\;dr =\frac{1}{8}\int_{1}^{5}u^{1/2}\,du =\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{1}^{5} =\frac{1}{12}\bigl(5^{3/2}-1\bigr).

Passo 5

Multiplicando por 2\pi, obtemos
2\pi\cdot\frac{1}{12}\bigl(5^{3/2}-1\bigr) =\frac{\pi}{6}\bigl(5^{3/2}-1\bigr).
Como 5^{3/2}=5\sqrt{5}, fica:

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).

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