Calcule
, onde
é a porção da esfera
que se encontra no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede a integral de superfície
onde
é a parte da esfera
no primeiro octante (
).
Conteúdo: integrais de superfície via coordenadas esféricas. Vamos parametrizar a esfera de raio e usar a expressão de
.
Conteúdo: integrais de superfície via coordenadas esféricas. Vamos parametrizar a esfera de raio
Passo 2
Em coordenadas esféricas, com
, temos
e o elemento de área da esfera é
No primeiro octante os ângulos variam em
Passo 3
O integrando
fica
portanto
Assim a integral torna-se
Passo 4
Podemos separar em produto de duas integrais:
Passo 5
Calculemos cada parte:
-
.
Fazendo, , obtemos
-
. Usando a fórmula
, vem
Passo 6
Substituindo: