Calcule \iint_{S} x^{2} d S, onde S é a porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que se encontra no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{S} x^{2}\,dS
onde S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 no primeiro octante ( x,y,z\ge0).
Conteúdo: integrais de superfície via coordenadas esféricas. Vamos parametrizar a esfera de raio 2 e usar a expressão de dS.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, com R=2, temos
x=2\sin\varphi\cos\theta,\quad y=2\sin\varphi\sin\theta,\quad z=2\cos\varphi,
e o elemento de área da esfera é
dS = R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = 4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
No primeiro octante os ângulos variam em
0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{2},\quad 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

O integrando x^{2} fica
x^{2} = \bigl(2\sin\varphi\cos\theta\bigr)^{2} = 4\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta,
portanto
x^{2}\,dS = 4\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta \;\times\;4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =16\,\sin^{3}\varphi\,\cos^{2}\theta\,d\varphi\,d\theta.
Assim a integral torna-se
\iint_{S}x^{2}\,dS = \int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{\pi/2}16\,\sin^{3}\varphi\,\cos^{2}\theta \,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Podemos separar em produto de duas integrais:
16 \Bigl(\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta\Bigr).

Passo 5

Calculemos cada parte:
  1. \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi =\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,(1-\cos^{2}\varphi)\,d\varphi.
    Fazendo u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi, obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi =\int_{u=1}^{0}-(1-u^{2})\,du =\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du =1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
  1. \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta. Usando a fórmula
    \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos2\theta}{2}, vem
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta =\tfrac12\Bigl[\theta+\tfrac{\sin2\theta}{2}\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\tfrac12\cdot\tfrac{\pi}{2} =\tfrac{\pi}{4}.

Passo 6

Substituindo:
16\;\times\;\tfrac{2}{3}\;\times\;\tfrac{\pi}{4} =16\;\times\;\tfrac{2\pi}{12} =\tfrac{32\pi}{12} =\tfrac{8\pi}{3}.

Resposta

\iint_{S} x^{2}\,dS = \tfrac{8\pi}{3}.

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