Calcule a área de superficie gerada pela rotação, em torno do eixo
, da curva
, com
Passo 1
Então, a gente vai calcular a área da superfície que é gerada quando giramos a curva
em torno do eixo
, no intervalo de
. Para isso, vamos usar o cálculo de áreas de superfícies de revolução, que envolve integração e derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva
em torno do eixo
:
Aqui,
é a função que está sendo girada, e
é a derivada dessa função em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar
e calcular sua derivada:
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula da área:
Passo 5
Para resolver a integral
, vamos fazer uma substituição:
Seja
, então:
Passo 6
Agora, substituímos na integral:
Integrando:
Voltando para
:
Passo 7
Agora, calculamos a integral definida de
a
:
Passo 8
Agora, multiplicamos pelo
que estava na fórmula da área:
Resposta
A área da superfície gerada é
.