Calcule a área de superficie gerada pela rotação, em torno do eixo x, da curva y=x^3, com 0 <= x <= 1

Passo 1

Então, a gente vai calcular a área da superfície que é gerada quando giramos a curva y = x^3 em torno do eixo x , no intervalo de 0 <= x <= 1 . Para isso, vamos usar o cálculo de áreas de superfícies de revolução, que envolve integração e derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva y = f(x) em torno do eixo x :
A = 2pi integrala^b y raiz1 + ( dydx )^2 , dx
Aqui, y = f(x) é a função que está sendo girada, e dydx é a derivada dessa função em relação a x .

Passo 3

Vamos identificar f(x) e calcular sua derivada:
f(x) = x^3
dydx = ddx(x^3) = 3x^2

Passo 4

Substituindo y e dydx na fórmula da área:
A = 2pi integral0^1 x^3 raiz1 + (3x^2)^2 , dx = 2pi integral0^1 x^3 raiz1 + 9x^4 , dx

Passo 5

Para resolver a integral integral x^3 raiz1 + 9x^4 , dx , vamos fazer uma substituição:
Seja u = 1 + 9x^4 , então:
dudx = 36x^3 Rightarrow du = 36x^3 dx Rightarrow x^3 dx = du36

Passo 6

Agora, substituímos na integral:
integral x^3 raiz1 + 9x^4 , dx = integral raizu cdot du36 = 136 integral u^1/2 , du
Integrando:
136 cdot 23 u^3/2 + C = 154 u^3/2 + C
Voltando para x :
154 (1 + 9x^4)^3/2

Passo 7

Agora, calculamos a integral definida de 0 a 1 :
[ 154 (1 + 9x^4)^3/2 ]0^1 = 154 (1 + 9 cdot 1^4)^3/2 - 154 (1 + 9 cdot 0^4)^3/2 = 154 (10)^3/2 - 154 (1)^3/2
= 154 cdot 10^3/2 - 154 = 154 cdot (10 raiz10) - 154 = 10 raiz10 - 154

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo 2pi que estava na fórmula da área:
A = 2pi cdot 10 raiz10 - 154 = 2pi (10 raiz10 - 1)54 = pi (10 raiz10 - 1)27

Resposta

A área da superfície gerada é boxed dfrac,pi,(10,raiz10,-,1)27 .

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