Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
(m) lim x 0 tan (3 x)x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0tan(3x)x
O conteúdo aqui é limite de função trigonométrica e vamos precisar usar o limite conhecido
limuto0tan(u)u=1.

Passo 2

Antes de tudo, é bom checar o domínio de
f(x)=tan(3x)x
Sabemos que tan(3x) existe sempre que cos(3x)neq0, ou seja, quando
3xneq(2k+1)pi2, kinZ,
isto é,
xneq(2k+1)pi6
Em particular x=0 está no domínio, pois tan(0)=0 e o denominador também é 0, mas trata–se de forma de “ 0/0” típica de limite.

Passo 3

O passo chave é lembrar o limite fundamental
limuto0tan(u)u=1
Isso decorre da expansão em série ou do fato de que seno e tangente são assintoticamente iguais a u perto de zero.

Passo 4

Para aplicar esse resultado, façamos a substituição u=3x. Então
tan(3x)x =tan(u)x =tan(u)ucdotux =tan(u)ucdot3
Quando xto0, também u=3xto0, e portanto
limxto0tan(3x)x =limuto0tan(u)ucdot3 =1cdot3

Resposta

3

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