Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
(q) lim x 2 tan (pi x)x-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto2tan(pi x)x-2
Estamos aplicando conceitos de limites de funções e observando implicitamente o domínio de tan(pi x).

Passo 2

Verificamos o domínio de tan(pi x):
tan(pi x) está indefinida quando
cos(pi x)=0Longrightarrow pi x = pi2+kpi Longrightarrow x = 12 + k, kinZ
Note que x=2 não é dessa forma, e numa vizinhança de 2 (por exemplo em (1.8,2.2)) a função está bem definida, pois os pontos problemáticos mais próximos são 1,5 e 2,5.

Passo 3

Para explorar o limite, faça a mudança de variável
h = x-2,
então hto0 quando xto2. Escrevemos
tan(pi x) = tanl(pi(2+h)r) = tan(2pi + pi h) = tan(pi h),
pois tan tem período pi. Logo
tan(pi x)x-2 = tan(pi h)h

Passo 4

Usamos a aproximação para ângulo pequeno, tan(theta)simtheta quando thetato0. Assim,
limhto0tan(pi h)h = limhto0tan(pi h)pi h,pi = 1cdotpi = pi
Portanto o limite existe e vale pi.

Resposta

pi

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