Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
(a) lim x +infty 1x^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto +infty 1x^2,
que é um exemplo de limite de função racional no infinito. Note que a função
f(x)=1x^2
está definida em
Rsetminus0,
logo faz sentido estudar o comportamento de f(x) quando xto+infty.

Passo 2

Como o grau do polinômio do numerador ( 0) é menor que o grau do polinômio do denominador ( 2), sabemos pela regra geral de limites de funções racionais que
limxto+infty1x^2 = 0
Em outras palavras, conforme x fica muito grande, x^2 cresce sem limite e, portanto, 1/x^2 tende a zero.

Passo 3

Para ver isso de forma mais rigorosa, seja epsilon>0. Queremos encontrar M>0 tal que, para todo x>M, tenhamos
gl|1x^2 - 0gr| < epsilon
Escolhendo
M = maxl1,;1/raizepsilonr,
temos x>Mimplies x>tfrac1raizepsilon, então
0 < 1x^2 < 1(1/raizepsilon)^2 = epsilon,
o que demonstra que de fato 1x^2to0.

Resposta

limxto +infty 1x^2 = 0

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