Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , do gráfico da função dada.
f(x)=x e 0 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação do gráfico de f(x)=x em torno do eixo x, para 0\le x\le1. O conteúdo é área de superfície de revolução, cuja fórmula é
S = 2\pi \int_{a}^{b} f(x)\,\sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;\mathrm{d}x.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada de f. Como f(x)=x,
f'(x)=1.
O elemento de arco é
\mathrm{d}s = \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;\mathrm{d}x = \sqrt{1+1^{2}}\;\mathrm{d}x = \sqrt{2}\;\mathrm{d}x.

Passo 3

Substituímos na fórmula de S:
S = 2\pi \int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}s = 2\pi \int_{0}^{1} x \,\bigl(\sqrt{2}\,\mathrm{d}x\bigr) = 2\pi\sqrt{2} \int_{0}^{1} x \,\mathrm{d}x.

Passo 4

Calculamos a integral
\int_{0}^{1} x \,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
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S = 2\pi\sqrt{2}\,\frac{1}{2} = \pi\sqrt{2}.

Resposta

\pi\sqrt{2}

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