Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo y, do gráfico da função dada.
f(x)=\mathrm{e} \quad 1 \leq x \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a área da superfície gerada pela rotação do gráfico da função f(x)=\mathrm{e}, constante no intervalo 1\le x\le 2, em torno do eixo y. O conteúdo é a área de superfície de revolução em torno do eixo y.

Passo 2

A fórmula para a área de superfície de revolução em torno do eixo y é
S = \int_{a}^{b} 2\pi x \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx
Aqui a=1, b=2 e f'(x)=0 (pois f é constante). Assim \sqrt{1+0^2}=1 e
S = \int_{1}^{2} 2\pi x\,dx

Passo 3

Computando a integral:
S = 2\pi \int_{1}^{2} x\,dx
A primitiva de x é \frac{x^2}{2}, logo
S = 2\pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2} = \pi\bigl(2^2 - 1^2\bigr) = 3\pi

Passo 4

Geomtricamente, essa superfície é um anel no plano y=\mathrm{e} com raio interno 1 e externo 2, cuja área é \pi(2^2-1^2)=3\pi.

Resposta

3\pi

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