Calcule a área da superfície obtida pela rotação da circunferência x+y=r em torno do eixo x .

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar em torno do eixo x o segmento da reta
x + y = r
que liga (0,r) a (r,0). O conteúdo utilizado será a fórmula da área de superfície de revolução de uma curva y=f(x) de x=a a x=b:
S = 2\pi \int_{a}^{b} y \,\mathrm{d}s,
onde \mathrm{d}s = \sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^2}\,\mathrm{d}x.

Passo 2

Expressamos a reta como função de x:
y = f(x) = r - x,
com domínio 0 \le x \le r.

Passo 3

Calculamos a derivada y':
y' = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(r - x) = -1.
Logo,
\sqrt{1 + (y')^2} = \sqrt{1 + (-1)^2} = \sqrt{2}.

Passo 4

Substituímos na fórmula de S:
S = 2\pi \int_{0}^{r} y \,\sqrt{1+(y')^2}\,\mathrm{d}x = 2\pi \int_{0}^{r} (r - x)\,\sqrt{2}\,\mathrm{d}x = 2\pi\sqrt{2} \int_{0}^{r} (r - x)\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Calculamos o integral:
\int_{0}^{r} (r - x)\,\mathrm{d}x = \biggl[r\,x - \frac{x^2}{2}\biggr]_{0}^{r} = \bigl(r^2 - \tfrac{r^2}{2}\bigr) = \tfrac{r^2}{2}.
Portanto,
S = 2\pi\sqrt{2}\,\frac{r^2}{2} = \pi\,r^2\sqrt{2}.

Resposta

\displaystyle \pi\,r^{2}\sqrt{2}

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