Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo y, do gráfico da função dada.
f(x)=\ln x e 1 \leq x \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar em torno do eixo y o gráfico de
f(x)=\ln x,\quad 1\le x\le2.
O conteúdo é área de superfície de revolução e vamos usar a fórmula
S=\int_{a}^{b}2\pi\,x\,\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx
para rotação em torno do eixo y.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac1x.
Então
1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2} =1+\frac{1}{x^{2}} =\frac{x^{2}+1}{x^{2}},
e o diferencial de comprimento de arco é
\sqrt{1+(f'(x))^{2}}\;dx =\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\;dx.

Passo 3

Substituindo em
S=\int_{1}^{2}2\pi\,x\;\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\;dx
vemos que os x se cancelam, ficando
S=2\pi\int_{1}^{2}\sqrt{x^{2}+1}\;dx.

Passo 4

Para calcular
\int\sqrt{x^{2}+1}\;dx
usamos a primitiva padrão
\int\sqrt{x^{2}+1}\;dx =\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+1} +\frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)+C.

Passo 5

Avaliaremos de 1 a 2:
\Bigl[\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+1} +\frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\Bigr]_{1}^{2}.
Em x=2 isso vale
\frac{2}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr) =\sqrt{5}+\frac12\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr),
e em x=1 vale
\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).
A diferença é
\sqrt{5}-\frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{1}{2}\ln\!\frac{2+\sqrt{5}}{1+\sqrt{2}}.
Multiplicando por 2\pi obtemos
S=2\pi\Bigl(\sqrt{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) +\pi\ln\!\frac{2+\sqrt{5}}{1+\sqrt{2}}.

Resposta

S =2\pi\sqrt{5} -\pi\sqrt{2} +\pi\ln\!\frac{2+\sqrt{5}}{1+\sqrt{2}}.

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