Calcule a integrais a seguir utilizando a técnica de integração por decomposição em frações parciais.
\int \frac{2}{x^{2}-2 x-3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{2}{x^{2}-2x-3}\,dx
usando decomposição em frações parciais. O conteúdo é integração de função racional, e vamos precisar fatorar o denominador, decompor em frações simples e então integrar cada termo.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^{2}-2x-3. Procuramos dois números cujo produto seja -3 e soma seja -2. Esses números são -3 e 1, logo
x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1).

Passo 3

Em seguida, escrevemos a fração como soma de frações simples:
\frac{2}{(x-3)(x+1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (x-3)(x+1)\) e igualamos polinômios: \[2 = A(x+1) + B(x-3) = (A+B)x + (A - 3B).
Comparando coeficientes de x e termo independente, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\\ A - 3B = 2. \end{cases}
Da primeira equação vem A = -B\]. Substituindo na segunda: \[(-B) - 3B = 2 \quad\Longrightarrow\quad -4B = 2 \quad\Longrightarrow\quad B = -\frac{1}{2},\] e portanto \(A = \frac{1}{2}.

Passo 5

Substituindo A e B na decomposição:
\frac{2}{(x-3)(x+1)} = \frac{\tfrac{1}{2}}{x-3} + \frac{-\tfrac{1}{2}}{x+1} = \frac{1}{2}\,\frac{1}{x-3} - \frac{1}{2}\,\frac{1}{x+1}.
Assim a integral fica
\int \frac{2}{x^{2}-2x-3}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x-3}\,dx - \frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}\,dx.

Passo 6

Cada integral é do tipo \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u|. Logo,
\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-3}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl|x-3\bigr|, \quad \frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl|x+1\bigr|.
Portanto,
\int \frac{2}{x^{2}-2x-3}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl|x-3\bigr| - \frac{1}{2}\ln\bigl|x+1\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{2}{x^{2}-2x-3}\,dx = \frac{1}{2}\ln\!\biggl|\frac{x-3}{x+1}\biggr| + C.

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