Usando o método de integração por substituição trigonométrica, calcule as integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}+9}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}+9}}\,dx
usando substituição trigonométrica. Para isso vamos lembrar da substituição padrão para termos do tipo \sqrt{x^{2}+a^{2}}, além da fórmula
\int \csc\theta\,d\theta = -\ln\bigl|\csc\theta + \cot\theta\bigr| + C.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 3\tan\theta, \quad dx = 3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,
e observamos que
\sqrt{x^{2}+9} = \sqrt{9\tan^{2}\theta + 9} = 3\operatorname{sec}\theta.
Assim o integrando vira
\frac{1}{x\sqrt{x^{2}+9}}\,dx = \frac{1}{(3\tan\theta)(3\operatorname{sec}\theta)}\cdot 3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{3\tan\theta\,\operatorname{sec}\theta}\,d\theta = \frac{1}{3}\,\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan\theta}\,d\theta = \frac{1}{3}\,\csc\theta\,d\theta.

Passo 3

A integral em \theta fica
\int \frac{1}{3}\,\csc\theta\,d\theta = \frac{1}{3}\int \csc\theta\,d\theta = -\frac{1}{3}\,\ln\bigl|\csc\theta + \cot\theta\bigr| + C.

Passo 4

Agora voltamos a x. Da substituição x=3\tan\theta temos triângulo retângulo com cateto oposto x, adjacente 3 e hipotenusa \sqrt{x^{2}+9}. Logo
\csc\theta = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{oposto}} = \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x}, \quad \cot\theta = \frac{\text{adjacente}}{\text{oposto}} = \frac{3}{x}.
Portanto
\csc\theta + \cot\theta = \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x} + \frac{3}{x} = \frac{\sqrt{x^{2}+9}+3}{x}.

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão logarítmica, obtemos
-\frac{1}{3}\,\ln\biggl|\frac{\sqrt{x^{2}+9}+3}{x}\biggr| + C.

Resposta

-\frac{1}{3}\,\ln\biggl|\frac{\sqrt{x^{2}+9}+3}{x}\biggr| + C

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