Calcule a área da superfície limitada pela curva y=x^{2}, pelo eixo dos y e pela reta y=4, no primeiro quadrante do plano cartesiano.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região do primeiro quadrante limitada pela curva y=x^{2}, pelo eixo dos y (ou seja, a reta x=0) e pela reta horizontal y=4.\n
Informações dadas:
\;1.\ \;y=x^{2}.\n
\;2.\ \;x=0 (eixo dos y).\n
\;3.\ \;y=4.\n
\;4.\ \;Primeiro quadrante (logo x\ge0 e y\ge0).\n
Pergunta: encontrar a área dessa região no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro vamos visualizar e descrever a região para saber como integrar sem erro.\n
A parábola \;y=x^{2} no primeiro quadrante tem x\ge0. A interseção entre \;y=x^{2} e \;y=4 ocorre quando
x^{2}=4.
Resolvendo, obtemos \;x=2 (desprezamos x=-2 por estarmos no primeiro quadrante). Portanto a curva vai de x=0 até x=2 quando y chega a 4.\n
A região é limitada à esquerda por x=0 e à direita pela curva x=\sqrt{y} (inversa de y=x^{2} para x\ge0), com y variando de 0 até 4.

Passo 3

Escolha do método de integração (por que integrar em y é conveniente):\n
Podemos encontrar a área integrando verticalmente (com respeito a x) ou horizontalmente (com respeito a y). Aqui é mais simples integrar em y porque, para cada altura y entre 0 e 4, a seção horizontal da região é um segmento que vai de x=0 até x=\sqrt{y}. Assim a largura do segmento é exatamente x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}=\sqrt{y}-0=\sqrt{y}. Isso dá um integral simples em função de y.\n
Se integrar em x seria \int_{0}^{2} (4-x^{2})\,dx, que também funciona; mas integrar em y usa diretamente x=\sqrt{y} e fica bem direto para explicar o procedimento passo a passo.

Passo 4

Montando o integral em y: a área A é a integral, para y de 0 a 4, da largura horizontal \sqrt{y}. Em forma matemática:
A=\int_{y=0}^{y=4} \bigl(\text{direita} - \text{esquerda}\bigr)\,dy = \int_{0}^{4} \sqrt{y}\,dy.
Escrevendo \sqrt{y} como potência: \sqrt{y}=y^{1/2}. Portanto
A=\int_{0}^{4} y^{1/2}\,dy.

Passo 5

Lembrete da regra de integração usada (regra da potência):\n
Seja n\neq -1. Temos
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Então a primitiva de y^{1/2} é
\frac{y^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{y^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}\,y^{3/2}.
Explico: 1/2+1=3/2 e dividir por 3/2 é multiplicar por 2/3.

Passo 6

Aplicando a primitiva aos limites de integração 0 e 4:\n
A=\left[\frac{2}{3}\,y^{3/2}\right]_{0}^{4}=\frac{2}{3}\,4^{3/2}-\frac{2}{3}\,0^{3/2}.
Agora calculamos 4^{3/2}. Lembre que a^{3/2}=(\sqrt{a})^{3}. Então
4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8.
Portanto
A=\frac{2}{3}\cdot 8 - 0 = \frac{16}{3}.

Passo 7

Interpretação final e incentivo:\n
A área da região pedida é \tfrac{16}{3} unidades de área. Bom trabalho por estar enfrentando a prova — você já fez a parte mais chata que é montar o integral; com prática isso vira automático. Se quiser, praticamos o mesmo tipo de região trocando o corte (por exemplo, limite por y=9 ou por outra parábola) para fixar o método!

Resposta

\dfrac{16}{3}

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