Calcule a área da superfície limitada pela curva
, pelo eixo dos
e pela reta
, no primeiro quadrante do plano cartesiano.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região do primeiro quadrante limitada pela curva
, pelo eixo dos
(ou seja, a reta
) e pela reta horizontal
.\n
Informações dadas:
\
.\n
\
(eixo dos
).\n
\
.\n
\
Primeiro quadrante (logo
e
).\n
Pergunta: encontrar a área dessa região no plano cartesiano.
Informações dadas:
Pergunta: encontrar a área dessa região no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro vamos visualizar e descrever a região para saber como integrar sem erro.\n
A parábola no primeiro quadrante tem
. A interseção entre
e
ocorre quando
A parábola
Resolvendo, obtemos
(desprezamos
por estarmos no primeiro quadrante). Portanto a curva vai de
até
quando
chega a
.\n
A região é limitada à esquerda por e à direita pela curva
(inversa de
para
), com
variando de
até
.
A região é limitada à esquerda por
Passo 3
Escolha do método de integração (por que integrar em
é conveniente):\n
Podemos encontrar a área integrando verticalmente (com respeito a ) ou horizontalmente (com respeito a
). Aqui é mais simples integrar em
porque, para cada altura
entre
e
, a seção horizontal da região é um segmento que vai de
até
. Assim a largura do segmento é exatamente
. Isso dá um integral simples em função de
.\n
Se integrar em seria
, que também funciona; mas integrar em
usa diretamente
e fica bem direto para explicar o procedimento passo a passo.
Podemos encontrar a área integrando verticalmente (com respeito a
Se integrar em
Passo 4
Montando o integral em
: a área
é a integral, para
de
a
, da largura horizontal
. Em forma matemática:
Escrevendo
como potência:
. Portanto
Passo 5
Lembrete da regra de integração usada (regra da potência):\n
Seja . Temos
Seja
Aqui
. Então a primitiva de
é
Explico:
e dividir por
é multiplicar por
.
Passo 6
Aplicando a primitiva aos limites de integração
e
:\n
Agora calculamos
. Lembre que
. Então
Portanto
Passo 7
Interpretação final e incentivo:\n
A área da região pedida é unidades de área. Bom trabalho por estar enfrentando a prova — você já fez a parte mais chata que é montar o integral; com prática isso vira automático. Se quiser, praticamos o mesmo tipo de região trocando o corte (por exemplo, limite por
ou por outra parábola) para fixar o método!
A área da região pedida é