Calcule o volume do sólido limitado superiormente por
, inferiormente por
e lateralmente pelos planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que é limitado superiormente por
, inferiormente por
e lateralmente pelos planos
,
,
e
.
Informações dadas e perguntas claras:
Informações dadas e perguntas claras:
- As faces verticais formam um retângulo no plano
com variando de a e variando de a . - Entre essas bases em
, a coordenada varia entre (fundo/inferior) e (teto/superior). - Pergunta: calcular o volume do sólido descrito por essas restrições.
Passo 2
Conceito usado (explicação didática): volume por integral tripla.
- O volume de um sólido
em coordenadas cartesianas pode ser calculado por
onde
representa um elemento de volume infinitesimal (em cartesianas
).
- Aqui o sólido
é o produto do retângulo no plano com o intervalo em . Isso significa que os limites são constantes — caso mais simples e direto.
Passo 3
Escrever a integral iterada com os limites explicitados. Como
,
e
têm limites independentes e constantes, podemos escolher a ordem
. Assim:
Aqui cada símbolo significa:
-
varia de até , -
varia de até , -
varia de até .
Passo 4
Calcular a integral mais interna (em
).
- A integral
é a integral de em relação a , que corresponde ao comprimento do intervalo em . Ou seja,
- Intuição: integrar
sobre um intervalo dá a largura desse intervalo.
Passo 5
Substituir o resultado na integral e integrar em
.
- Após integrar em
ficamos com
- Como
é constante em relação a , a integral em é
- Explicação: integrar uma constante
em um intervalo de comprimento resulta em .
Passo 6
Integrar em
(última integral).
- Substituindo, temos
- Novamente é uma constante em
, então
Passo 7
Interpretação geométrica e checagem: forma do sólido.
- Geometricamente, o sólido é um paralelepípedo retângulo (uma “caixinha”) cujas dimensões são:
- comprimento em
: , - largura em
: , - altura em
: .
- comprimento em
- O volume de um paralelepípedo retângulo é produto das três dimensões, isto é
, que coincide com a integral que montamos .