Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z=5, inferiormente por z=2 e lateralmente pelos planos y=0, y=3, x=0 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que é limitado superiormente por z=5, inferiormente por z=2 e lateralmente pelos planos y=0, y=3, x=0 e x=1.
Informações dadas e perguntas claras:
  • As faces verticais formam um retângulo no plano xy com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 3.
  • Entre essas bases em xy, a coordenada z varia entre z=2 (fundo/inferior) e z=5 (teto/superior).
  • Pergunta: calcular o volume do sólido descrito por essas restrições.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática): volume por integral tripla.
  • O volume de um sólido D em coordenadas cartesianas pode ser calculado por
\text{Volume}=\iiint_{D} dV,
onde dV representa um elemento de volume infinitesimal (em cartesianas dV = dx\,dy\,dz).
  • Aqui o sólido D é o produto do retângulo no plano xy com o intervalo em z. Isso significa que os limites são constantes — caso mais simples e direto.

Passo 3

Escrever a integral iterada com os limites explicitados. Como x, y e z têm limites independentes e constantes, podemos escolher a ordem dz\,dy\,dx. Assim:
\text{Volume}=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{3}\int_{z=2}^{5} dz\,dy\,dx.
Aqui cada símbolo significa:
  • x varia de 0 até 1,
  • y varia de 0 até 3,
  • z varia de 2 até 5.

Passo 4

Calcular a integral mais interna (em z).
  • A integral \int_{z=2}^{5} dz é a integral de 1 em relação a z, que corresponde ao comprimento do intervalo em z. Ou seja,
\int_{z=2}^{5} dz = 5-2.
  • Intuição: integrar 1 sobre um intervalo dá a largura desse intervalo.

Passo 5

Substituir o resultado na integral e integrar em y.
  • Após integrar em z ficamos com
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{3} (5-2)\,dy\,dx.
  • Como 5-2 é constante em relação a y, a integral em y é
\int_{y=0}^{3} (5-2)\,dy = (5-2)\cdot 3.
  • Explicação: integrar uma constante C em um intervalo de comprimento L resulta em C\cdot L.

Passo 6

Integrar em x (última integral).
  • Substituindo, temos
\int_{x=0}^{1} (5-2)\cdot 3 \, dx.
  • Novamente é uma constante em x, então
\int_{x=0}^{1} (5-2)\cdot 3 \, dx = (5-2)\cdot 3 \cdot 1.

Passo 7

Interpretação geométrica e checagem: forma do sólido.
  • Geometricamente, o sólido é um paralelepípedo retângulo (uma “caixinha”) cujas dimensões são:
    • comprimento em x: 1-0 = 1,
    • largura em y: 3-0 = 3,
    • altura em z: 5-2 = 3.
  • O volume de um paralelepípedo retângulo é produto das três dimensões, isto é (1)\cdot(3)\cdot(3), que coincide com a integral que montamos (5-2)\cdot 3\cdot 1.

Resposta

9

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