Calcule a área da superfície obtida pela rotação da circunferência x^{2}+y^{2}=r^{2} em torno do eixo x .

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação da circunferência \,x^{2}+y^{2}=r^{2} em torno do eixo x. O conteúdo aqui é “superfície de revolução”. Vamos usar a fórmula que diz que, ao rotacionar um arco y=y(x), x\in[a,b], em torno do eixo x, a área S vale
S \;=\; 2\pi \int_{a}^{b} y(x)\,\mathrm{d}s,
onde
\mathrm{d}s \;=\;\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;\mathrm{d}x.

Passo 2

Como a circunferência não está expressa como função única, separamos o arco superior
y(x)=\sqrt{r^{2}-x^{2}},\quad x\in[-r,r].
Rotacionando só essa parte já gera toda a esfera de raio r. Vamos calcular y'(x).

Passo 3

Derivando
y'(x) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{r^{2}-x^{2}} =-\frac{x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}.
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\mathrm{d}s =\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;\mathrm{d}x =\sqrt{1+\frac{x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}\;\mathrm{d}x =\frac{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\;\mathrm{d}x.

Passo 4

Substituindo na fórmula da área:
S =2\pi\int_{-r}^{r}y(x)\,\mathrm{d}s =2\pi\int_{-r}^{r} \sqrt{r^{2}-x^{2}}\;\frac{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\,\mathrm{d}x =2\pi\int_{-r}^{r}r\,\mathrm{d}x.

Passo 5

O integrando é constante, então
S =2\pi\,r\int_{-r}^{r}1\,\mathrm{d}x =2\pi\,r\bigl[x\bigr]_{-r}^{r} =2\pi\,r\,(r-(-r)) =2\pi\,r\cdot2r =4\pi\,r^{2}.

Resposta

A área da superfície obtida é 4\pi r^{2}.

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