Calcule a integral definida:
\int_{1}^{2} \sqrt{4-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\;dx.
Este é um caso clássico de integral da forma \sqrt{a^{2}-x^{2}}, que podemos resolver usando a primitiva conhecida dessa função ou por substituição trigonométrica.

Passo 2

A primitiva de \sqrt{a^{2}-x^{2}} (com a=2) é
F(x) = \frac{x}{2}\,\sqrt{4 - x^{2}}\;+\;\frac{4}{2}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) + C.
Vamos usar essa expressão para avaliar nos limites de 1 a 2.

Passo 3

Calculando F(2) e F(1):
Para x=2 temos \sqrt{4 - 2^{2}} = 0 e \arcsin(2/2) = \pi/2, então
F(2) = \frac{2}{2}\cdot 0 \;+\; 2\cdot \frac{\pi}{2} = \pi.
Para x=1 temos \sqrt{4 - 1^{2}} = \sqrt{3} e \arcsin(1/2) = \pi/6, então
F(1) = \frac{1}{2}\,\sqrt{3} \;+\; 2\cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3}.

Passo 4

A integral definida é F(2) - F(1). Assim,
\int_{1}^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\;dx = \pi \;-\;\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3}\Bigr) = \frac{2\pi}{3} \;-\; \frac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}

Exercícios relacionados