5^{2} Questão: Determine a convergência da série \sum_{n=9}^{\infty} \frac{1}{2^{n}-n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=9}^{\infty} \frac{1}{2^{n}-n}.
O conteúdo envolvido é séries numéricas de termos positivos e vamos usar o teste de comparação com uma série geométrica.

Passo 2

Note que o termo geral é
a_n = \frac{1}{2^{n}-n}.
Como 2^n cresce muito mais rápido que n, podemos comparar a_n com uma potência de 1/2.

Passo 3

Para n\ge9 vale n \le 2^{n-1}. Assim,
2^n - n \;\ge\; 2^n - 2^{n-1} \;=\; 2^{n-1}
e daí
a_n = \frac{1}{2^n - n} \;\le\; \frac{1}{2^{n-1}}.

Passo 4

A série
\sum_{n=9}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}}
é geométrica de razão \tfrac12 (menor que 1), logo converge. Pelo teste de comparação, a série original também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=9}^{\infty} \frac{1}{2^{n}-n} converge.

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