Usando o método de integração por substituição trigonométrica, calcule as integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-16}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-16}}\,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é a integração de funções com raiz do tipo \sqrt{x^{2}-a^{2}}, para o qual costuma-se usar a troca x=a\operatorname{sec}\theta.

Passo 2

Escolhemos a substituição
x = 4\operatorname{sec}\theta,
pois aqui a=4. Então temos
\sqrt{x^{2}-16} = \sqrt{16\operatorname{sec}^{2}\theta - 16} = 4\tan\theta
e
dx = 4\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.

Passo 3

Agora substituímos tudo na integral original:
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-16}}\,dx = \int \frac{4\operatorname{sec}\theta}{4\tan\theta}\,\bigl(4\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr) = \int 4\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

A integral de \operatorname{sec}^{2}\theta é bem conhecida:
\int 4\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = 4\tan\theta + C.

Passo 5

Fazendo a substituição inversa, lembramos que
\tan\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{4}.
Portanto
4\tan\theta = \sqrt{x^{2}-16},
e ficamos com
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-16}}\,dx = \sqrt{x^{2}-16} + C.

Resposta

\sqrt{x^{2}-16} + C

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