Usando o método de integração por substituição trigonométrica, calcule as integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{1}{x \sqrt{25-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}}\,dx
usando substituição trigonométrica, pois há uma expressão do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}} com a=5.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 5\sin\theta, \quad dx = 5\cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{25 - x^{2}} = 5\cos\theta,
onde assumimos \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) para que \cos\theta\ge0.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{(5\sin\theta)\,(5\cos\theta)}\,(5\cos\theta\,d\theta) = \frac{1}{5}\int \csc\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabemos da tabela de integrais que
\int \csc\theta\,d\theta = -\ln\bigl|\csc\theta + \cot\theta\bigr| + C.
Logo
\frac{1}{5}\int \csc\theta\,d\theta = -\frac{1}{5}\,\ln\bigl|\csc\theta + \cot\theta\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x:
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} = \frac{5}{x}, \qquad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{25 - x^{2}}}{x}.
Então
\csc\theta + \cot\theta = \frac{5 + \sqrt{25 - x^{2}}}{x}.
Substituindo, obtemos
-\frac{1}{5}\,\ln\Bigl|\csc\theta + \cot\theta\Bigr| + C = -\frac{1}{5}\,\ln\Bigl|\frac{5 + \sqrt{25 - x^{2}}}{x}\Bigr| + C.

Resposta

-\frac{1}{5}\,\ln\Bigl|\frac{5 + \sqrt{25 - x^{2}}}{x}\Bigr| + C.

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