O gráfico de qualquer função quadrática f(x)=a x^2+b x+c é uma parábola. Demonstre que a média das inclinações das retas tangentes à parábola nas extremidades de qualquer intervalo [p, q] éigual à inclinação da reta tangente no ponto médio do intervalo.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função quadrática f(x)=a x^2+b x+c, cujo gráfico é uma parábola, e queremos mostrar que a média das inclinações das tangentes nos pontos x=p e x=q satisfaz
f'(p)+f'(q)2 ;=; f'l(tfracp+q2r)
O conteúdo que vamos usar é a derivada de um polinômio: a derivada de x^2 é 2x e a derivada de x é 1.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Pela regra termo a termo,
f'(x) ;=;ddxl(a x^2r)+ddxl(b xr)+ddx(c) ;=;2a x + b + 0 ;=;2a x + b

Passo 3

Agora calculamos a média das inclinações em p e q:
f'(p)+f'(q)2 =l(2a p + br)+l(2a q + br)2 =2a(p+q)+2b2 =a(p+q)+b

Passo 4

Em seguida avaliamos a derivada no ponto médio tfracp+q2:
f'!l(tfracp+q2r) =2a!l(tfracp+q2r)+b =a(p+q)+b

Passo 5

Comparando os resultados dos passos anteriores, vemos que
f'(p)+f'(q)2=a(p+q)+b e f'!l(tfracp+q2r)=a(p+q)+b,
logo ambas as expressões coincidem, como queríamos demonstrar.

Resposta

f'(p)+f'(q)2 ;=; f'l(tfracp+q2r)

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