Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo y :
2) y=1-x^2, 0 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação da curva y = 1 - x^2, para 0 <= x <= 1, em torno do eixo y. O conteúdo envolve superfícies de revolução e precisamos usar a fórmula que diz: S = 2pi integrala^b r(x) , ds onde r(x) é a distância da curva ao eixo de rotação (aqui r(x)=x), e ds é o elemento de arco.

Passo 2

Primeiro calculamos o diferencial de arco ds. Como y = 1 - x^2, temos y' = dydx = -2x. Portanto
ds = raiz1 + (y')^2 , dx = raiz1 + 4x^2 , dx

Passo 3

Substituindo na fórmula de área, obtemos
S = 2pi integral0^1 x , raiz1 + 4x^2 , dx

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos a substituição u = 1 + 4x^2. Então du = 8x , dx, ou seja, x , dx = du8. Quando x=0, u=1; quando x=1, u=5. A integral vira
S = 2pi integralu=1^5 raizu , du8 = pi4 integral1^5 u^1/2 , du

Passo 5

Agora integramos: integral u^1/2 du = tfrac23u^3/2. Logo
S = pi4 cdot 23 l[u^3/2r]1^5 = pi6 l(5^3/2 - 1^3/2r) = pi6 l(5raiz5 - 1r)

Resposta

S = pi6l(5raiz5 - 1r).

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