Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície gerada quando a curva
no intervalo
é girada em torno do eixo
. Vamos usar cálculo, especificamente o conceito de superfícies de revolução, e precisaríamos das fórmulas para área de superfície ao girar curvas em torno de um eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície de revolução em torno do eixo
. Quando giramos uma curva
em torno do eixo
, a área da superfície
é dada por:
Aqui,
é a derivada da função em relação a
, e
é o intervalo de
dado, que no nosso caso é de 1 a 2.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:
Então, somando 1:
Passo 5
Agora, vamos substituir tudo na fórmula da área de superfície:
Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente, então geralmente usamos métodos numéricos ou uma calculadora para encontrar o valor aproximado.
Passo 6
Usando uma calculadora ou software de cálculo, vamos avaliar a integral:
Resposta
A área da superfície é aproximadamente
unidades de área.