Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva y = x^4/16 + 1/(2 x^2), 1 <= x <= 2 em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície gerada quando a curva no intervalo é girada em torno do eixo . Vamos usar cálculo, especificamente o conceito de superfícies de revolução, e precisaríamos das fórmulas para área de superfície ao girar curvas em torno de um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície de revolução em torno do eixo . Quando giramos uma curva em torno do eixo , a área da superfície é dada por:
Aqui, é a derivada da função em relação a , e é o intervalo de dado, que no nosso caso é de 1 a 2.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Derivando termo a termo:

Passo 4

Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:
Então, somando 1:

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na fórmula da área de superfície:
Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente, então geralmente usamos métodos numéricos ou uma calculadora para encontrar o valor aproximado.

Passo 6

Usando uma calculadora ou software de cálculo, vamos avaliar a integral:
á

Resposta

A área da superfície é aproximadamente unidades de área.

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